Логарифмы в ЕГЭ по профильной математике — это тот раздел, где теория на три страницы превращается в решаемую задачу за пять минут, если знаешь ключ. В 2026 году логарифмы встречаются в трёх номерах экзамена: задание 7 проверяет умение считать числовые выражения, задание 13 требует решить логарифмическое уравнение, а задание 15 бросает вызов сложным неравенствам. Поняв свойства логарифмов для ЕГЭ по математике один раз, ты сможешь забрать до четырёх первичных баллов из 29 возможных.
Задание 7 ЕГЭ математика логарифмы: быстрая арифметика
Седьмое задание — это тренировка на скорость. Тебе дают выражение вроде 25^(log_5 3) / 9^(log_3 2) или log_2 48 - log_2 3, и нужно найти числовое значение. Здесь работают только свойства логарифмов, без переменных и ОДЗ.
Основные формулы логарифмов для ЕГЭ по профильной математике, которые нужны в этом задании:
- Основное логарифмическое тождество: a^(log_a b) = b (а в степени логарифм b по основанию a равно b)
- Сумма: log_a b + log_a c = log_a(bc) (логарифм произведения равен сумме логарифмов)
- Разность: log_a b - log_a c = log_a(b/c) (логарифм частного равен разности логарифмов)
- Вынос показателя: log_a(b^n) = n * log_a b (показатель степени аргумента выносится перед логарифмом)
Проверь себя прямо сейчас
Найдите значение выражения log_3 54 + log_3 (1/2).
1. 3
2. 2
3. 27
4. 9
Решение: Используем свойство суммы: log_3(54 * 1/2) = log_3 27 = 3, так как 3^3 = 27. Ответ: 1.
Задание 13 ЕГЭ по математике профиль логарифмы: уравнения с переменной
Здесь начинается настоящая работа с логарифмами. Типичное уравнение выглядит как log_2(x+3) + log_2(x-1) = 3. Алгоритм решения строгий:
Шаг первый — область допустимых значений. Аргумент логарифма всегда положителен, основание больше нуля и не равно единице. Для примера выше: x+3 > 0 и x-1 > 0, значит x > 1.
Шаг второй — преобразование. Сводим логарифмы к одному основанию через формулу перехода log_a b = log_c b / log_c a или используем свойства. В примере: log_2((x+3)(x-1)) = 3.
Шаг третий — избавление от логарифма. По определению: (x+3)(x-1) = 2^3 = 8. Решаем квадратное уравнение: x^2 + 2x - 3 = 8, откуда x^2 + 2x - 11 = 0.
Шаг четвёртый — проверка. Корни должны удовлетворять ОДЗ. Если один из корней меньше или равен 1, его отбрасываем.
Интерактивный пример
Решите уравнение log_5(2x-1) = 2. В какой степени стоит основание 5 справа?
1. 2x-1
2. 25
3. 5
4. x
Ответ: 2, так как log_5(2x-1) = 2 означает 2x-1 = 5^2 = 25.
Задание 15 ЕГЭ математика профиль логарифмы: неравенства методом рационализации
Пятнадцатое задание стоит два первичных балла и требует развёрнутого ответа. Здесь используется метод рационализации (замена множителей), который позволяет заменить сложные логарифмические выражения на простые алгебраические.
Если видишь неравенство log_a f(x) / log_a g(x) > 0, помни: знак дроби совпадает со знаком (a-1)(f(x)-1)(g(x)-1) при условии, что основания одинаковы и больше нуля.
Алгоритм для задания 15:
1. Найди ОДЗ: основание > 0, основание ≠ 1, аргументы > 0.
2. Преобразуй неравенство к виду log_a f(x) > log_a g(x) или используй замену переменной.
3. Примени метод рационализации: замени log_a b на выражение с тем же знаком.
4. Реши полученное рациональное неравенство методом интервалов.
5. Пересеки решение с ОДЗ.
Пример для разбора
Решите неравенство log_0,5(x-1) > -2.
Сначала преобразуем: -2 = log_0,5 4, так как 0,5^(-2) = 4. Получаем log_0,5(x-1) > log_0,5 4.
Так как основание 0,5 < 1, знак неравенства меняется на противоположный при переходе к аргументам: x-1 < 4. С учётом ОДЗ (x-1 > 0) получаем 1 < x < 5.
🎓 Репетиторство EasyKnow
Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений?
Занимайся с преподавателем EasyKnow— индивидуально, просто и по твоему темпу.
[Записаться на пробный урок →]
Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений?
Занимайся с преподавателем EasyKnow— индивидуально, просто и по твоему темпу.
[Записаться на пробный урок →]
Свойства логарифмов для ЕГЭ: шпаргалка
Задание ЕГЭ математика логарифмы требует автоматического применения свойств. Вот таблица, которую нужно знать наизусть:
Определение: log_a b = c означает, что a^c = b. Применяется при переходе от логарифма к степени.
Основное тождество: a^(log_a b) = b. Упрощает выражения со степенями.
Сумма: log_a b + log_a c = log_a(bc). Свертывает логарифмы произведения в сумму.
Разность: log_a b - log_a c = log_a(b/c). Раскрывает дробь под логарифмом.
Показатель аргумента: log_a(b^n) = n * log_a b. Выносит степень из аргумента перед логарифм.
Показатель основания: log_(a^n) b = (1/n) * log_a b. Меняет основание логарифма.
Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a. Приводит к одинаковому основанию.
Десятичный логарифм: lg b = log_10 b. Стандартное обозначение для основания 10.
Натуральный логарифм: ln b = log_e b. Экспонентное основание e.
Как не ошибиться в ОДЗ
Самая частая ошибка в заданиях 13 и 15 — потеря корней из-за неправильной области допустимых значений. Помни три железных правила:
1. Аргумент логарифма всегда строго больше нуля: log_a f(x) требует f(x) > 0.
2. Основание логарифма больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1.
3. Если при решении уравнения ты возводишь основание в степень, проверь, что не потерял ограничения.
Тест на внимательность
При решении уравнения log_x(x+2) = 2 какие ограничения нужно наложить на x?
1. x > 0, x ≠ 1, x+2 > 0
2. x > 0, x+2 > 0
3. x ≠ 1, x+2 > 0
4. x > 0, x ≠ 1
Правильный ответ: 1. Все три условия обязательны.
Стратегия подготовки к логарифмам
Не пытайся запомнить все формулы логарифмов для ЕГЭ по профильной математике за один вечер. Разбей подготовку на этапы:
Первый день — задание 7. Решай только числовые выражения, тренируйся быстро применять основное тождество и выносить показатели.
Второй-третий день — задание 13. Работай с уравнениями разных типов: с одинаковыми основаниями, с переходом к новому основанию, с заменой переменной.
Четвёртый-пятый день — задание 15. Осваивай метод рационализации и метод интервалов. Это самые сложные логарифмические неравенства, но они приносят два балла.
На платформе EasyKnow собраны тренажёры по каждому типу логарифмических задач с интеллектуальной проверкой. Ты получишь мгновенную обратную связь: если ошибёшься в ОДЗ, система подсветит именно это место и объяснит, почему корень посторонний. Не превращай логарифмы в бесконечное заучивание правил — научись применять их на практике, и тогда задания 7, 13 и 15 станут твоими надёжными источниками баллов на пути к 80+ по профильной математике.
