Представьте: вы наблюдаете, как яблоко падает с дерева. Почему оно летит вниз? А если бы у вас была возможность запустить спутник вокруг Земли, как рассчитать необходимую для этого скорость? Ответы на эти вопросы — в законе всемирного тяготения. Именно эта тема лежит в основе одного из заданий ЕГЭ по физике, которое проверяет ваше понимание фундаментальных физических законов и умение применять их на практике. Сегодня разберём, что именно проверяется в задании, какие подводные камни могут встретиться и как уверенно решать подобные задачи.
Что представляет собой задание №2 по теме «Закон всемирного тяготения: первая космическая скорость и ускорение свободного падения»
Задание №2 проверяет ваше понимание закона всемирного тяготения, умения вычислять ускорение свободного падения в разных условиях и находить первую космическую скорость для планет и спутников. Это расчётное задание, которое обычно предполагает использование формулы закона всемирного тяготения и связанных с ним зависимостей. В нём проверяется способность анализировать физические процессы, связанные с гравитационным взаимодействием тел, и применять математический аппарат для решения практических задач. Формат задания — расчётная задача, где требуется вывести искомую величину, используя известные данные и формулы. Баллы за выполнение зависят от полноты и корректности решения: за верный ход решения и вычисления можно получить максимальный балл, за ошибки в вычислениях или неполный ход решения — частично.
Разбор типов задач по теме: от простого к сложному
Тип 1. Вычисление ускорения свободного падения
Часто в задачах требуется найти ускорение свободного падения на поверхности планеты, зная её массу и радиус. Для этого используется формула, выведенная из закона всемирного тяготения:
$g = \frac{GM}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — её радиус.
Пример. Найдите ускорение свободного падения на поверхности Луны, если масса Луны равна $7,3 \cdot 10^{22}$ кг, а её радиус — $1737$ км.
Решение. Подставим известные значения в формулу:
$g{\text{Луна}} = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,3 \cdot 10^{22}}{(1,737 \cdot 10^6)^2} \approx 1,62 \text{ м/с}^2$.
Алгоритм решения:
- Записать формулу для ускорения свободного падения: $g = \frac{GM}{R^2}$.
- Перевести все величины в систему СИ (если требуется).
- Подставить значения $G$, $M$, $R$ в формулу.
- Вычислить значение $g$, округлить до нужного числа знаков после запятой.
- Записать ответ с указанием размерности.
Проверь себя. На поверхности некоторой планеты ускорение свободного падения составляет $12,5 \text{ м/с}^2$. Масса планеты $5 \cdot 10^{24}$ кг. Найдите её радиус (в км). Округлите ответ до ближайшего целого.
Ответ: $5800$ км. Пояснение: выразим радиус из формулы: $R = \sqrt{\frac{GM}{g}}$. Подставляя значения, получаем $R \approx 5,8 \cdot 10^6$ м, или $5800$ км.
Тип 2. Изменение ускорения свободного падения с высотой
Иногда требуется определить ускорение свободного падения на некоторой высоте над поверхностью планеты. Формула та же, но вместо радиуса планеты $R$ используется сумма $R + h$, где $h$ — высота над поверхностью.
Пример. Найдите ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли, над её поверхностью.
Решение. Обозначим радиус Земли как $R$. Тогда расстояние от центра Земли до точки наблюдения равно $2R$. Используем формулу: $g = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g0}{4}$, где $g0$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Так как $g0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$, то $g \approx 2,45 \text{ м/с}^2$.
Алгоритм решения:
- Определить, какое расстояние от центра планеты до точки наблюдения: $R + h$.
- Подставить это расстояние в формулу $g = \frac{GM}{(R + h)^2}$.
- Если известны значения $g0$ и $R$, упростить выражение через отношение расстояний.
- Подставить численные значения и вычислить результат.
Проверь себя. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения будет в $4$ раза меньше, чем на поверхности? Ответ дайте в радиусах Земли.
Ответ: $1R$ (или один радиус Земли). Пояснение: так как $g \propto \frac{1}{r^2}$, то при уменьшении $g$ в $4$ раза расстояние до центра Земли должно увеличиться в $2$ раза. Следовательно, $r = 2R$, а высота над поверхностью $h = r - R = R$.
Тип 3. Вычисление первой космической скорости
Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником и двигалось по круговой орбите. Её можно найти из условия равенства центростремительного ускорения и ускорения свободного падения (или из закона всемирного тяготения):
$v1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
Пример. Найдите первую космическую скорость для Марса, если его масса равна $6,4 \cdot 10^{23}$ кг, а радиус — $3390$ км.
Решение. Используем формулу: $v1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$. Подставляем значения:
$v1 = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6,4 \cdot 10^{23}}{3,39 \cdot 10^6}} \approx 3545 \text{ м/с} \approx 3,55 \text{ км/с}$.
Алгоритм решения:
- Записать формулу для первой космической скорости: $v1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
- Проверить, все ли величины заданы в системе СИ.
- Подставить значения $G$, $M$, $R$ в формулу.
- Вычислить значение под корнем и извлечь квадратный корень.
- Округлить результат и записать ответ с единицами измерения.
Проверь себя. Найдите первую космическую скорость для планеты, масса которой в $2$ раза больше массы Земли, а радиус в $1,5$ раза больше радиуса Земли. Ответ дайте в км/с, округлив до сотых. (Для Земли: $v{1\text{З}} \approx 7,9 \text{ км/с}$.)
Ответ: $9,23$ км/с. Пояснение: используя соотношение $v1 \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$, находим: $v1 = 7,9 \cdot \sqrt{\frac{2}{1,5}} \approx 7,9 \cdot 1,1547 \approx 9,23 \text{ км/с}$.
Универсальный алгоритм решения задач по теме
- Внимательно прочитайте условие задачи. Выделите, что дано и что требуется найти. Определите, какой процесс описывается (движение спутника, падение тела, расчёт ускорения свободного падения и т. д.).
- Запишите известные формулы. Вспомните закон всемирного тяготения: $F = G \frac{m1 m2}{r^2}$. Вспомните формулы для ускорения свободного падения и первой космической скорости.
- При необходимости выразите искомую величину из формулы. Перепишите уравнение так, чтобы искомая величина была слева, а известные величины — справа.
- Подставьте численные значения. Убедитесь, что все единицы измерения приведены к системе СИ (килограммы, метры, секунды).
- Проведите вычисления. Если возможно, упростите выражение перед подстановкой чисел — это поможет избежать ошибок округления и упростит вычисления.
- Проверьте ход решения. Убедитесь, что формула применена правильно, вычисления корректны, а ответ имеет смысл (например, первая космическая скорость не должна быть отрицательной или чрезмерно большой).
- Запишите ответ. Не забудьте указать единицы измерения и округлить ответ, если это требуется по условию.
Типичные ошибки
- ❌ Неверный перевод единиц измерения. Например, если радиус задан в километрах, а в формулу нужно подставить значение в метрах, это приведёт к ошибке в десятки раз.
- ❌ Путаница между радиусом планеты и расстоянием от центра планеты до тела. В формуле $g = \frac{GM}{R^2}$ $R$ — это расстояние от центра планеты до объекта. Если объект находится на высоте $h$ над поверхностью, то $R = R{\text{планеты}} + h$.
- ❌ Ошибки в арифметических операциях. Особенно часто встречаются ошибки при возведении в степень, извлечении квадратного корня или делении больших чисел. Используйте калькулятор, но внимательно проверяйте введённые данные.
- ❌ Непонимание физического смысла величин. Например, путаница между ускорением свободного падения и силой тяжести, между первой и второй космической скоростью. Ускорение свободного падения — это характеристика поля тяготения в данной точке пространства, а первая космическая скорость — это минимальная скорость для выхода на орбиту.
Заключение
Закон всемирного тяготения — один из фундаментальных законов природы, который находит широкое применение в астрономии и космонавтике. Понимание того, как вычисляется ускорение свободного падения и первая космическая скорость, необходимо не только для успешного выполнения задания ЕГЭ, но и для формирования общего представления о том, как устроена наша Вселенная. Разобравшись с этими понятиями, вы сможете решать более сложные задачи, связанные с движением планет, спутников и других небесных тел.
🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →
