Статика: нахождение минимального коэффициента трения для удержания лестницы у стены — разбор задания ЕГЭ 2026

Представьте: вы видите в задании ЕГЭ сложную схему с лестницей, которая упирается в стену, и должны найти минимальный коэффициент трения, чтобы она не соскользнула. Кажется, что тут много переменных и условий — и голова начинает кружиться. Но на самом деле эта задача проверяет знание базовых принципов статики, которые можно разложить на простые шаги. Давайте разберёмся, как найти минимальный коэффициент трения для удержания лестницы у стены, шаг за шагом, с учётом всех нюансов.

Что представляет собой задание на нахождение минимального коэффициента трения

Задание №4 по физике в рамках ЕГЭ проверяет понимание основ статики — раздела механики, где изучаются условия равновесия тел. В данном случае речь идёт о твёрдом теле (лестнице), которое должно оставаться неподвижным под действием нескольких сил: тяжести, реакций опоры, трения. Вам нужно будет найти минимальное значение коэффициента трения, при котором лестница не начнёт скользить.

Обычно такая задача оценивается в несколько баллов, и от точности расчётов и обоснованности решений зависит итоговый результат. Критерии оценивания включают правильность составления уравнений равновесия (поступательного и вращательного), корректный учёт всех действующих сил, включая силы трения, и логичность рассуждений. Если вы пропустите какую-то силу или неверно зададите направление, решение станет ошибочным.

Разбор типов задач на нахождение минимального коэффициента трения

Задачи на статику с лестницей могут различаться по условиям: угол наклона лестницы, её длина, масса, наличие дополнительных нагрузок. Однако в основе всегда лежат два ключевых условия равновесия:

1. Сумма всех сил равна нулю (равновесие поступательного движения).
2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (равновесие вращательного движения).

Рассмотрим несколько типов таких задач.

Тип 1: лестница опирается на гладкую стену и шероховатый пол

Это самый распространённый случай. Лестница упирается одним концом в стену, другим — в пол. Стена считается гладкой, значит, сила реакции опоры перпендикулярна стене и не имеет горизонтальной составляющей. Пол шероховатый — значит, возникает сила трения, которая препятствует скольжению лестницы.

Пример 1

Предположим, лестница длиной 3 метра и массой 10 кг опирается на гладкую стену и шероховатый пол под углом 60° к горизонту. Центр масс лестницы находится на её середине. Необходимо найти минимальный коэффициент трения между лестницей и полом, чтобы лестница не скользила.

Алгоритм решения для Типа 1

1. Обозначим все силы, действующие на лестницу. Это сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз из центра масс лестницы. Сила реакции опоры со стороны стены $N1$, перпендикулярная стене (горизонтальная). Сила реакции опоры со стороны пола $N2$, перпендикулярная полу (вертикальная). Сила трения $F{тр}$, действующая вдоль пола в сторону, противоположную направлению возможного скольжения (в данном случае горизонтально к стене).
2. Запишем условие равновесия сил в проекции на горизонтальную ось: $N1 = F{тр}$.
3. Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось: $N2 = mg$.
4. Запишем условие равновесия моментов сил относительно точки касания лестницы с полом. Выберем эту точку, чтобы исключить неизвестные силы $N2$ и $F{тр}$ из уравнения (их моменты относительно этой точки равны нулю).
5. Момент силы $N1$ относительно этой точки: $N1 \cdot L \cdot \sin(\alpha)$, где $L$ — длина лестницы, $\alpha$ — угол между лестницей и полом.
6. Момент силы тяжести относительно этой точки: $mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\alpha)$.
7. Уравнение моментов: $N1 \cdot L \cdot \sin(\alpha) = mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\alpha)$.
8. Упростим уравнение, сократив $L$: $N1 \cdot \sin(\alpha) = mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha)$.
9. Выразим $N1$: $N1 = \frac{mg \cdot \cos(\alpha)}{2 \cdot \sin(\alpha)}$.
10. Вспомним, что сила трения $F{тр} = \mu \cdot N2 = \mu \cdot mg$, где $\mu$ — коэффициент трения.
11. Из условия равновесия сил: $N1 = F{тр}$, следовательно: $\frac{mg \cdot \cos(\alpha)}{2 \cdot \sin(\alpha)} = \mu \cdot mg$.
12. Сократим $mg$: $\frac{\cos(\alpha)}{2 \cdot \sin(\alpha)} = \mu$.
13. Упростим выражение: $\mu = \frac{1}{2} \cdot \ctg(\alpha)$.
14. Подставим значение угла $\alpha = 60°$: $\ctg(60°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
15. Получаем: $\mu = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}289$.

Таким образом, минимальный коэффициент трения должен быть примерно 0,289.

Проверь себя

Вопрос: Как изменится минимальный коэффициент трения, если увеличить угол наклона лестницы к горизонту? Ответ: Минимальный коэффициент трения уменьшится. Пояснение: при увеличении угла $\alpha$, $\ctg(\alpha)$ уменьшается, следовательно, $\mu = \frac{1}{2} \cdot \ctg(\alpha)$ также уменьшается. Это логично: чем более вертикально стоит лестница, тем меньше сила, стремящаяся сдвинуть её горизонтально, и тем меньший коэффициент трения требуется для удержания.

Тип 2: лестница опирается на шероховатые поверхности

В этом случае оба контакта (со стеной и полом) могут создавать силы трения. Условия равновесия остаются прежними, но теперь сила трения со стороны стены также играет роль, и уравнение моментов записывается с учётом двух сил трения.

Пример 2

Лестница массой 12 кг и длиной 4 метра опирается на шероховатую стену и шероховатый пол. Угол между лестницей и полом составляет 50°. Центр масс находится на середине лестницы. Сила трения со стороны стены препятствует скольжению вниз, а со стороны пола — скольжению наружу. Найдите минимальный коэффициент трения, если известно, что коэффициенты трения между лестницей и стеной и между лестницей и полом одинаковы.

Алгоритм решения для Типа 2

1. Обозначим силы: сила тяжести $mg$, силы реакции опоры $N1$ (со стороны стены) и $N2$ (со стороны пола), силы трения $F{тр1} = \mu N1$ (со стороны стены) и $F{тр2} = \mu N2$ (со стороны пола).
2. Условие равновесия в проекции на горизонтальную ось: $N1 = F{тр2} = \mu N2$.
3. Условие равновесия в проекции на вертикальную ось: $N2 + F{тр1} = mg$, или $N2 + \mu N1 = mg$.
4. Уравнение моментов сил относительно точки касания лестницы с полом. Силы $N2$ и $F{тр2}$ не создают моментов. Момент силы $N1$: $N1 \cdot L \cdot \sin(\alpha)$. Момент силы тяжести: $mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\alpha)$. Момент силы трения со стороны стены: $F{тр1} \cdot L \cdot \cos(\alpha) = \mu N1 \cdot L \cdot \cos(\alpha)$.
5. Уравнение моментов: $N1 \cdot L \cdot \sin(\alpha) = mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\alpha) + \mu N1 \cdot L \cdot \cos(\alpha)$.
6. Сократим $L$: $N1 \cdot \sin(\alpha) = mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha) + \mu N1 \cdot \cos(\alpha)$.
7. Перенесём все члены с $N1$ влево: $N1 \cdot \sin(\alpha) - \mu N1 \cdot \cos(\alpha) = mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha)$.
8. Вынесем $N1$ за скобки: $N1 \cdot (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) = mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha)$.
9. Выразим $N1$: $N1 = \frac{mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)}$.
10. Из условия равновесия сил: $N1 = \mu N2$.
11. Подставим это в уравнение для вертикальной оси: $N2 + \mu (\mu N2) = mg$, или $N2 (1 + \mu^2) = mg$.
12. Выразим $N2$: $N2 = \frac{mg}{1 + \mu^2}$.
13. Подставим $N2$ в выражение для $N1$: $N1 = \mu \frac{mg}{1 + \mu^2}$.
14. Приравняем два выражения для $N1$: $\mu \frac{mg}{1 + \mu^2} = \frac{mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)}$.
15. Сократим $mg$ и решим уравнение относительно $\mu$.

Это уравнение уже не упрощается так просто, как в первом случае, и требует алгебраических преобразований или численного решения. Однако ключевой момент остаётся прежним: необходимо учесть все силы и моменты, чтобы найти минимальное значение коэффициента трения.

Проверь себя

Вопрос: Как изменится уравнение моментов, если выбрать другую точку вращения, например, точку касания лестницы со стеной? Ответ: Уравнение моментов изменится, так как изменятся плечи всех сил относительно новой точки. Однако конечный результат (значение $\mu$) останется прежним, поскольку условие равновесия должно выполняться для любой точки. Пояснение: выбор точки вращения упрощает расчёты, но не влияет на физический смысл условия равновесия. Важно выбрать такую точку, чтобы в уравнение вошло минимальное количество неизвестных.

Универсальный алгоритм решения задач на нахождение минимального коэффициента трения

1. Анализ условия. Внимательно прочитайте задачу. Определите, какие поверхности шероховатые, а какие гладкие. Нарисуйте схему, на которой обозначьте все известные и неизвестные величины (массу, длину, углы, силы).
2. Выбор системы отсчёта. Выберите удобную систему координат (например, оси, направленные вдоль и перпендикулярно полу).
3. Обозначение сил. Укажите все силы, действующие на тело (тяжести, реакции опоры, трения). Не забывайте, что сила трения направлена против возможного или реального движения.
4. Запись условий равновесия. Запишете уравнения равновесия: сумма сил в проекции на каждую ось равна нулю, сумма моментов сил относительно любой точки равна нулю.
5. Выбор точки для уравнения моментов. Выбирайте точку, которая лежит на линии действия наибольшего числа неизвестных сил. Это позволит исключить их из уравнения и упростить расчёты.
6. Расчёт моментов сил. Для каждой силы вычислите момент, учитывая её модуль, плечо (расстояние от точки до линии действия силы) и направление вращения (по или против часовой стрелки). Обычно направление по часовой стрелке считают положительным, а против — отрицательным, но это зависит от вашего выбора.
7. Решение уравнений. Используйте полученные уравнения для нахождения искомой величины (в данном случае коэффициента трения). Решайте систему уравнений пошагово, выражая неизвестные величины через известные.
8. Проверка решения. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно удовлетворяет условиям равновесия. Проверьте, является ли найденный коэффициент трения положительным числом и соответствует ли он физическим представлениям (например, не превышает 1, если это не очевидно из условия).

Типичные ошибки при решении задач на нахождение минимального коэффициента трения

• ❌ Неверный учёт сил трения. Часто ученики забывают, что сила трения возникает только там, где поверхность шероховатая, и направлена против возможного скольжения. Например, если стена гладкая, сила трения со стороны стены равна нулю.

• ❌ Неправильный выбор точки для уравнения моментов. Если выбрать точку, через которую проходят линии действия двух неизвестных сил, то эти силы войдут в уравнение моментов, что усложнит решение. Лучше выбрать точку, чтобы исключить как можно больше неизвестных.

• ❌ Ошибки в определении плеч сил. Плечо силы — это перпендикуляр от точки вращения до линии действия силы. Некоторые ученики ошибочно используют расстояние от точки до конца лестницы или угол между лестницей и стеной вместо угла между лестницей и полом.

• ❌ Неправильная расстановка знаков в уравнениях моментов. Важно чётко определить, какое направление вращения считать положительным, а какое — отрицательным. Если не соблюдать это правило, уравнение моментов будет составлено неверно, и ответ получится ошибочным.

• ❌ Некорректное использование формул. Иногда ученики путают синус и косинус при определении плеч или проекций сил. Чтобы избежать ошибок, нарисуйте прямоугольный треугольник и сопоставьте стороны с соответствующими тригонометрическими функциями.

Заключение

Решение задач на нахождение минимального коэффициента трения для удержания лестницы у стены — это не просто набор формул, а целая стратегия, которая требует чёткого анализа, внимательности и понимания физических принципов. Ключ к успеху — это не только знание формул, но и умение логически мыслить, правильно обозначать силы и выбирать удобную точку для уравнения моментов.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →