Представьте: вы пытаетесь описать траекторию движения крошечного электрона, который ворвался в магнитное поле. Казалось бы, что тут сложного? Но стоит электрону влететь не прямо, а под углом — и его путь превращается в винтовую линию. Именно такие хитрые траектории становятся основой сложных физических задач, в том числе и в ЕГЭ по физике. В этом разборе мы шаг за шагом разберёмся, как вычислить шаг такой винтовой линии — и перестанем бояться задач на силу Лоренца.

Что представляет собой задание про силу Лоренца

Задание №15 ЕГЭ по физике проверяет, насколько хорошо вы понимаете действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы. Здесь важно не только знать формулу силы Лоренца, но и уметь разложить вектор скорости на составляющие, проанализировать, как каждая из них влияет на траекторию движения. Баллы за это задание начисляются в зависимости от полноты и корректности решения: требуется не просто привести ответ, но и обосновать каждый шаг с физической точки зрения.

В основе задачи лежит понимание того, что когда заряженная частица влетает в магнитное поле под углом к линиям индукции, её движение можно представить как сумму двух независимых движений:

  • равномерного движения вдоль линии индукции (обусловленного параллельной составляющей скорости);
  • равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции (из-за перпендикулярной составляющей скорости и действия силы Лоренца).

В результате траектория частицы — это винтовая линия. Шаг этой винтовой линии — это расстояние, которое частица проходит вдоль оси винта за время одного полного оборота по окружности.

Разбор типов задач на винтовую траекторию

Тип 1: расчёт шага винтовой линии по известным параметрам

Предположим, у нас есть электрон, который влетел в магнитное поле с индукцией B под углом α к линиям индукции. Нам известны скорость электрона v, величина индукции магнитного поля B, заряд электрона e и его масса m. Наша задача — найти шаг h винтовой линии.

Пример. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл под углом 60° к линиям индукции со скоростью 10⁶ м/с. Найдите шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон. Заряд электрона e = 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл, масса m = 9,1 ⋅ 10⁻³¹ кг.

Алгоритм решения:

  1. Разложим вектор скорости на две составляющие:
  • параллельную линиям индукции: vₖ = v ⋅ cos(α);
  • перпендикулярную линиям индукции: vₚ = v ⋅ sin(α).
  1. Определим период обращения электрона по окружности, перпендикулярной линиям индукции. Сила Лоренца в этом случае выполняет роль центростремительной силы:

$FЛ = qvₚB = \frac{mvₚ^2}{R}$, откуда $R = \frac{mvₚ}{qB}$ и $T = \frac{2πR}{vₚ} = \frac{2πm}{qB}$.

  1. За время одного полного оборота (период T) электрон одновременно продвигается вдоль линий индукции со скоростью vₖ. Следовательно, шаг винтовой линии:

$h = vₖ ⋅ T = v ⋅ cos(α) ⋅ \frac{2πm}{qB}$.

  1. Подставим значения и получим ответ.

Проверь себя. Чему будет равен шаг винтовой линии, если электрон влетит в поле с индукцией 0,2 Тл под углом 30° со скоростью 5 ⋅ 10⁵ м/с? Используйте те же значения массы и заряда электрона. Ответ: 1,13 ⋅ 10⁻² м (1,13 см). Пояснение: используем формулу $h = v ⋅ cos(α) ⋅ \frac{2πm}{qB}$, подставляем значения: $h = 5 ⋅ 10⁵ ⋅ cos(30°) ⋅ \frac{2 ⋅ 3,14 ⋅ 9,1 ⋅ 10⁻³¹}{1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ ⋅ 0,2} ≈ 1,13 ⋅ 10⁻²$ м.

Тип 2: анализ зависимости шага от параметров поля и частицы

Часто в заданиях требуется не просто посчитать, но и понять, как изменится шаг винтовой линии при изменении какого-либо параметра (скорости, индукции, угла влёта).

Пример. Как изменится шаг винтовой линии, если скорость электрона удвоится, а индукция магнитного поля увеличится в 4 раза?

Разбор. Из формулы $h = v ⋅ cos(α) ⋅ \frac{2πm}{qB}$ видно, что шаг прямо пропорционален скорости и обратно пропорционален индукции. Значит, при удвоении скорости шаг увеличится в 2 раза, а при увеличении индукции в 4 раза — уменьшится в 4 раза. Итоговый результат: шаг уменьшится в 2 раза.

Проверь себя. Во сколько раз изменится шаг винтовой линии, если угол влёта электрона уменьшится с 60° до 30°, а модуль скорости увеличится в 2 раза? Индукция поля и заряд с массой частицы не меняются. Ответ: увеличится в $\sqrt{3}$ раза. Пояснение: шаг $h ∝ v ⋅ cos(α)$. Увеличение скорости в 2 раза увеличит шаг в 2 раза, а уменьшение угла с 60° до 30° уменьшит $cos(α)$ с 0,5 до ≈0,866, то есть в $\frac{0,5}{0,866} ≈ \frac{1}{\sqrt{3}}$. Общий множитель: $2 ⋅ \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Тип 3: определение недостающего параметра по известным данным о траектории

В таких задачах дан шаг винтовой линии и некоторые другие параметры, а требуется найти, например, угол влёта или величину индукции поля.

Пример. Электрон влетает в магнитное поле с индукцией 0,3 Тл. Известно, что шаг винтовой линии равен 2 см, а скорость электрона — 2 ⋅ 10⁶ м/с. Найдите угол влёта электрона к линиям индукции.

Алгоритм решения:

  1. Запишем формулу для шага: $h = v ⋅ cos(α) ⋅ \frac{2πm}{qB}$.
  2. Выразим $cos(α) = \frac{h ⋅ qB}{v ⋅ 2πm}$.
  3. Подставим значения: $cos(α) = \frac{0,02 ⋅ 1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ ⋅ 0,3}{2 ⋅ 10⁶ ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9,1 ⋅ 10⁻³¹} ≈ 0,837$.
  4. Найдём угол: $α = arccos(0,837) ≈ 33°$.

Проверь себя. При какой индукции магнитного поля шаг винтовой линии для электрона, влетевшего со скоростью 3 ⋅ 10⁶ м/с под углом 45° к линиям индукции, составит 3 см? Ответ: ≈ 0,19 Тл. Пояснение: используем формулу $h = v ⋅ cos(α) ⋅ \frac{2πm}{qB}$ и выражаем B: $B = \frac{v ⋅ cos(α) ⋅ 2πm}{q ⋅ h}$. Подставляем значения: $B = \frac{3 ⋅ 10⁶ ⋅ cos(45°) ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9,1 ⋅ 10⁻³¹}{1,6 ⋅ 10⁻¹⁹ ⋅ 0,03} ≈ 0,19$ Тл.

Универсальный алгоритм решения задач на шаг винтовой линии

  1. Проанализируйте условие: определите, какие параметры известны, а какие требуется найти.
  2. Разложите вектор скорости на параллельную и перпендикулярную составляющую к линиям индукции.
  3. Определите период обращения по окружности в перпендикулярной плоскости: $T = \frac{2πm}{qB}$.
  4. Вычислите шаг винтовой линии как произведение параллельной составляющей скорости на период: $h = vₖ ⋅ T$.
  5. Если требуется найти недостающий параметр (угол, индукцию, скорость), выразите его из формулы и подставьте числовые значения.
  6. Проверьте единицы измерения и полученный результат на логичность: шаг не может быть отрицательным, а угол — больше 90° в контексте данной задачи.

Универсальный разбор физических принципов

Почему при влёте под углом траектория становится винтовой?

  • Перпендикулярная составляющая скорости vₚ вызывает движение по окружности из-за силы Лоренца, направленной перпендикулярно скорости и линиям индукции (по правилу левой руки).
  • Параллельная составляющая vₖ не подвергается действию силы Лоренца (так как угол между ней и вектором индукции равен нулю) и обеспечивает равномерное движение вдоль поля.
  • Сумма этих двух движений — и есть винтовая линия.

От чего зависит шаг винтовой линии?

  • Прямо пропорционально скорости и косинусу угла влёта (чем больше проекция скорости на ось, тем дальше электрон продвигается за оборот).
  • Обратно пропорционально индукции магнитного поля (чем сильнее поле, тем меньше радиус и период вращения, а значит, и шаг).
  • Не зависит от заряда и массы напрямую в рамках пропорциональности, но эти параметры определяют период вращения.

Важно: сила Лоренца не совершает работы и не меняет модуль скорости, только её направление. Поэтому модуль скорости остаётся постоянным на всей траектории.

Универсальный подход к визуализации и интерпретации

Часто ученики путают траекторию и компоненты скорости. Представьте, что электрон «раздваивается» мысленно:

  • одна его «ипостась» движется по кругу (из-за перпендикулярной компоненты);
  • другая — прямолинейно вдоль поля (из-за параллельной компоненты).

Вместе это и даёт винтовую линию.

Для наглядности можно сделать схематический рисунок:

  1. Изобразите линии индукции как параллельные прямые.
  2. Под углом α нарисуйте вектор скорости v.
  3. Разложите его на vₚ (перпендикулярно линиям) и vₖ (параллельно).
  4. Вокруг направления vₖ нарисуйте окружности, постепенно смещаясь вдоль оси — получится винтовая траектория.

Типичные ошибки

  • ❌ Путают составляющие скорости. Некоторые считают, что вся скорость участвует в круговом движении или, наоборот, не учитывают разложение. Важно помнить: перпендикулярная составляющая отвечает за вращение, а параллельная — за продвижение вдоль поля.
  • ❌ Не учитывают зависимость от угла. Часто ошибочно полагают, что шаг зависит только от скорости и индукции, забывая о множителе $cos(α)$. При α = 90° (влёт строго перпендикулярно) шаг равен нулю — траектория становится окружностью.
  • ❌ Ошибаются в направлении силы Лоренца. Для отрицательных частиц (как электрон) направление силы будет противоположным по сравнению с положительным зарядом. Здесь важно применять правило левой руки с учётом знака заряда.
  • ❌ Игнорируют единицы измерения. При подстановке данных в формулу необходимо убедиться, что все величины выражены в СИ (метры, секунды, Теслы и т. д.), иначе результат будет ошибочным.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →

Завершая разбор, заметим: задачи на винтовую траекторию могут казаться сложными, но разбиение на составляющие и визуализация решения делают их вполне посильными. Регулярная практика и внимательное следование алгоритму помогут уверенно справляться с любыми вариациями таких задач на экзамене. Готовьтесь с EasyKnow — и вы покорите физику!