Представьте: вы решаете уравнение, и оно кажется бесконечным и непонятным, с кучей степеней. Знакомая ситуация? Именно так часто чувствуют себя ученики, сталкиваясь с биквадратными уравнениями. Но не переживайте! Сегодня мы разберём задание 20 второй части ОГЭ, где как раз встречаются такие уравнения и системы с заменой переменной. Мы превратим это в простую схему действий, которую вы легко запомните и примените на экзамене.

Знаете ли вы, что правильное решение задания 20 может существенно поднять общий балл на ОГЭ? Это задание из второй части, где оценивается не только ответ, но и ход решения. От вашего умения методично и грамотно представить решение зависит, получите ли вы максимальные баллы.

Что представляет собой задание 20

Задание 20 второй части ОГЭ проверяет умение решать уравнения и системы уравнений, в том числе с помощью замены переменной. Оно может включать биквадратные уравнения — уравнения четвёртой степени, где неизвестное встречается только в чётных степенях (например, $x^4$, $x^2$).

Формат задания предполагает развёрнутое решение. Баллы зависят от полноты и правильности представления хода решения. В случае биквадратных уравнений важно не только найти корни, но и корректно сделать замену переменной, а затем вернуться к исходной переменной.

Разбор типов заданий

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения имеют вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Ключевая идея решения — замена переменной. Мы заменяем $x^2$ на новую переменную, например $y$, и получаем квадратное уравнение, которое решается стандартным способом.

Пример 1. Решите уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Решение. Сделаем замену: $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 5y + 4 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 25 - 16 = 9$, $y1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$, $y2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$. Возвращаемся к переменной $x$: $x^2 = 4$ и $x^2 = 1$. Отсюда $x1 = 2$, $x2 = -2$, $x3 = 1$, $x4 = -1$.

Алгоритм решения биквадратного уравнения:

  1. Сделать замену: $x^2 = y$.
  2. Решить полученное квадратное уравнение относительно $y$.
  3. Для каждого корня $y$ решить уравнение $x^2 = y$.
  4. Записать все найденные корни исходного уравнения.

Проверь себя. Решите уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

Ответ: $x1 = 3$, $x2 = -3$, $x3 = 1$, $x4 = -1$.

Пояснение: замена $y = x^2$ даёт уравнение $y^2 - 10y + 9 = 0$. Корни: $y1 = 9$, $y2 = 1$. Отсюда $x^2 = 9$ и $x^2 = 1$, что приводит к указанным корням.

Пример 2. Решите уравнение $2x^4 - 17x^2 + 8 = 0$.

Решение. Пусть $y = x^2$, тогда $2y^2 - 17y + 8 = 0$. Решаем: $D = 289 - 64 = 225$, $y1 = \frac{17 + 15}{4} = 8$, $y2 = \frac{17 - 15}{4} = 0{,}5$. Возвращаемся к $x$: $x^2 = 8$ и $x^2 = 0{,}5$. Корни: $x1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $x2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$, $x3 = \sqrt{0{,}5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x4 = -\sqrt{0{,}5} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверь себя. Решите уравнение $3x^4 - 19x^2 + 6 = 0$.

Ответ: $x1 = \sqrt{6}$, $x2 = -\sqrt{6}$, $x3 = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $x4 = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Пояснение: замена $y = x^2$ приводит к уравнению $3y^2 - 19y + 6 = 0$. Дискриминант $D = 361 - 72 = 289$. Корни: $y1 = 6$, $y2 = \frac{1}{3}$. Отсюда $x^2 = 6$ и $x^2 = \frac{1}{3}$, что даёт указанные корни.

Системы с заменой переменной

Иногда в системе уравнений можно сделать замену, чтобы упростить систему. Например, если в уравнениях встречаются выражения вроде $x + y$ и $xy$, замена $u = x + y$, $v = xy$ может существенно упростить решение.

Пример 3. Решите систему: $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

Решение. Заметим, что $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$. Из первого уравнения $x + y = 5$, тогда $x^2 + y^2 = 25 - 2xy$. Подставим во второе уравнение: $25 - 2xy = 13$, $2xy = 12$, $xy = 6$. Получили новую систему: $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases}$

Теперь можно решить её как систему, где $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни: $t1 = 2$, $t2 = 3$. Значит, решения системы: $(x; y) = (2; 3)$ или $(3; 2)$.

Алгоритм решения системы с заменой переменной:

  1. Проанализировать систему: найти выражения, которые можно заменить новыми переменными.
  2. Сделать замену и получить новую систему, которая легче решается.
  3. Решить новую систему (часто она сводится к квадратному уравнению или простой системе линейных уравнений).
  4. Вернуться к исходным переменным и записать ответ.

Проверь себя. Решите систему: $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases}$

Ответ: $(x; y) = (2; 1)$ или $(x; y) = (-1; -2)$.

Пояснение: из первого уравнения $x = y + 1$. Подставим во второе: $(y + 1)^2 + y^2 = 5$, $y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5$, $2y^2 + 2y - 4 = 0$, $y^2 + y - 2 = 0$. Корни: $y1 = 1$, $y2 = -2$. Тогда $x1 = 2$, $x2 = -1$. Решения: $(2; 1)$ и $(-1; -2)$.

Пример 4. Решите систему: $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{1}{4}. \end{cases}$

Решение. Введём замену: $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$. Получим систему: $\begin{cases} u + v = \frac{1}{2}, \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{4}. \end{cases}$

Заметим, что $u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv$. Подставим: $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2uv$, $\frac{1}{4} = \frac{1}{4} - 2uv$, отсюда $2uv = 0$, $uv = 0$. Значит, либо $u = 0$, либо $v = 0$. Но $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, и ни $x$, ни $y$ не могут быть бесконечными. Значит, система не имеет решений.

Проверь себя. Решите систему: $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 1. \end{cases}$

Ответ: система не имеет решений.

Пояснение: замена $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$ даёт систему $\begin{cases} u + v = 1, \\ u^2 + v^2 = 1. \end{cases}$ Используя тождество $u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv$, получаем: $1 = 1 - 2uv$, $uv = 0$. Значит, $u = 0$ или $v = 0$, что невозможно. Следовательно, решений нет.

Универсальный алгоритм решения задания 20

  1. Внимательно прочитайте уравнение или систему уравнений. Определите, можно ли сделать замену переменной. Обратите внимание на степени и комбинации переменных.
  2. Сделайте замену. Введите новую переменную так, чтобы уравнение или система упростились. Для биквадратных уравнений $x^2$ заменяем на $y$. Для систем ищите выражения, которые повторяются или легко выражаются через новые переменные.
  3. Решите новое уравнение или систему. Используйте известные методы (формулы дискриминанта, теорему Виета, разложение на множители).
  4. Вернитесь к исходной переменной. После нахождения корней относительно новой переменной решите уравнения для исходной переменной (например, $x^2 = y$).
  5. Проверьте корни. Если необходимо, подставьте найденные корни в исходное уравнение или систему, чтобы убедиться, что они удовлетворяют всем условиям.
  6. Запишите ответ. Запишите все найденные корни или пары значений переменных, соблюдая условие задания (например, в порядке возрастания, если требуется).

Типичные ошибки

  • ❌ Забывают вернуться к исходной переменной. Например, находят $y$, но забывают, что $y = x^2$, и не решают уравнение $x^2 = y$.
  • ❌ Ошибаются в вычислении дискриминанта. Простые арифметические ошибки могут привести к неверным корням. Всегда проверяйте вычисления, особенно при больших числах.
  • ❌ Не проверяют наличие корней у уравнений вида $x^2 = y$. Если $y < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Часто забывают про этот нюанс.
  • ❌ Неправильно применяют формулы. Например, путают $x^2 + y^2$ и $(x + y)^2$. Помните, что $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, и не пропускайте удвоенное произведение.

Заключение

Задание 20 может показаться сложным, но если вы понимаете логику замены переменной и умеете методично выполнять шаги, оно становится вполне решаемым. Главное — практика. Чем больше уравнений вы решите, тем увереннее будете чувствовать себя на экзамене. Занимайтесь с преподавателем EasyKnow — и вы быстро освоите все нюансы. Мы поможем вам разобраться в тонкостях и избежать типичных ошибок.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →