Представьте: вы на перроне и смотрите на проходящий поезд. Он медленно движется мимо столба, затем — мимо длинной платформы. А теперь — представьте, что это не наблюдение, а математическая задача! Именно такие ситуации лежат в основе задания 21 ОГЭ по математике. Сегодня разберём, как не попасться в ловушки таких задач и правильно их решить.
Многие ученики считают, что в задачах про движение поезда мимо столба и платформы всё просто: знаешь скорость и время — посчитай расстояние. Но на деле именно здесь часто всплывают ошибки из-за невнимательности к длине поезда — а это как раз то, что проверяет задание 21.
Что представляет собой задание 21: текстовые задачи на движение протяжённых тел
Задание 21 ОГЭ по математике — это текстовые задачи, которые проверяют умение составлять и решать уравнения, понимать физические процессы (скорость, время, расстояние) и применять эти знания на практике. В частности, речь идёт о задачах на движение протяжённых тел, таких как поезда, проходящие мимо неподвижных объектов (столба, платформы, лесополосы и т. д.).
Формат: задача описана в текстовом виде, требуется составить уравнение или цепочку рассуждений, чтобы найти неизвестную величину (часто — длину поезда, его скорость или время прохождения мимо объекта).
Баллы: за верное решение вы можете получить до 2 баллов. Критерии оценки зависят от полноты и правильности решения, включая построение уравнения, его решение и ответ.
Разбор типов задач: поезд мимо столба и платформы
Задача: поезд мимо столба (или лесополосы)
В таких задачах поезд проезжает мимо неподвижного объекта, например, столба или лесополосы. Ключевой момент — когда поезд «проезжает мимо», это значит, что он должен пройти расстояние, равное своей длине. Это часто забывают, и в итоге получают неверный ответ.
Пример 1. Поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо столба за 30 секунд. Какова длина поезда?
Решение:
- Переведём скорость в м/с: $60 \text{ км/ч} = 60 \times \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{60000}{3600} \text{ м/с} \approx 16{,}67 \text{ м/с}$.
- Время прохождения мимо столба — 30 секунд. За это время поезд проходит расстояние, равное своей длине.
- Найдём длину поезда: $S = v \times t = 16{,}67 \times 30 \approx 500 \text{ м}$.
- Ответ: длина поезда — 500 метров.
Алгоритм решения:
- Перевести все единицы измерения в одну систему (обычно — м и с).
- Определить, что расстояние, которое проходит поезд, равно его длине.
- Использовать формулу $S = v \times t$.
- Вычислить и записать ответ.
Проверь себя:
- Задача: поезд, движущийся со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо столба за 40 секунд. Какова длина поезда?
- Решение: $54 \text{ км/ч} = 54 \times \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$. $S = 15 \times 40 = 600 \text{ м}$.
- Ответ: 600 метров. Пояснение: при переводе км/ч в м/с мы делим на 3,6, чтобы получить правильную скорость в единицах СИ.
Задача: поезд мимо платформы
Здесь ситуация немного сложнее: поезд проезжает мимо платформы, которая имеет определённую длину. Важно понимать, что в этом случае поезд проходит расстояние, равное сумме длины самого поезда и длины платформы.
Пример 2. Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проезжает мимо платформы длиной 300 метров за 25 секунд. Какова длина поезда?
Решение:
- Переведём скорость в м/с: $72 \text{ км/ч} = 72 \times \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$.
- За 25 секунд поезд проходит расстояние $S = v \times t = 20 \times 25 = 500 \text{ м}$.
- Это расстояние — сумма длины поезда и длины платформы. Обозначим длину поезда за $x$. Тогда $x + 300 = 500$.
- Решаем уравнение: $x = 500 - 300 = 200$.
- Ответ: длина поезда — 200 метров.
Алгоритм решения:
- Перевести скорость в м/с.
- Найти общее расстояние, которое проходит поезд (используя формулу $S = v \times t$).
- Понять, что это расстояние — сумма длины поезда и длины платформы.
- Составить уравнение и найти длину поезда.
- Записать ответ.
Проверь себя:
- Задача: поезд, движущийся со скоростью 36 км/ч, проезжает мимо платформы длиной 200 метров за 30 секунд. Какова длина поезда?
- Решение: $36 \text{ км/ч} = 36 \times \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$. $S = 10 \times 30 = 300 \text{ м}$. $x + 200 = 300$, следовательно, $x = 100$.
- Ответ: 100 метров. Пояснение: важно не забыть, что общее расстояние включает в себя длину платформы и длину поезда.
Универсальный алгоритм решения текстовых задач на движение протяжённых тел
- Внимательно прочитать условие, выделить данные (скорость, время, длина объектов) и то, что нужно найти.
- Перевести все величины в одну систему единиц измерения (чаще всего — м/с и секунды, но может быть и другая, в зависимости от условия).
- Определить, какое расстояние проходит объект (зависит от того, мимо чего он движется: мимо столба — длина объекта; мимо платформы — сумма длин объекта и платформы).
- Использовать формулу $S = v \times t$ для нахождения расстояния или вычисления одной из неизвестных величин.
- Составить уравнение или цепочку вычислений на основе найденных данных.
- Решить уравнение, получить ответ.
- Проверить, соответствует ли ответ условию задачи (нет ли противоречия).
Частные случаи и нюансы
- Разные единицы измерения в условии. Часто в задачах могут быть даны км/ч и метры или часы и секунды. Обязательно переводите все величины в одну систему перед вычислениями.
- Интерпретация времени. Иногда в задаче может быть указано время с момента, когда «нос» поезда поравнялся с объектом, до момента, когда «хвост» проехал мимо. Это и есть время, за которое поезд проходит своё собственное расстояние (или сумму расстояний, если объект подвижен или имеет длину).
- Задачи с двумя поездами. Хотя в задании 21 чаще встречаются задачи с одним поездом и неподвижным объектом, иногда могут встретиться задачи с двумя движущимися поездами. В этом случае нужно учитывать их относительную скорость. Например, если поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Если в одном направлении — относительная скорость будет разностью их скоростей.
Пример 3 (частный случай). Два поезда движутся в одном направлении со скоростями 54 км/ч и 36 км/ч. Длина первого поезда — 300 м, второго — 200 м. За какое время первый поезд полностью обгонит второй?
Решение:
- Переведём скорости в м/с: $54 \text{ км/ч} = 15 \text{ м/с}$, $36 \text{ км/ч} = 10 \text{ м/с}$.
- Относительная скорость: $15 - 10 = 5 \text{ м/с}$.
- Расстояние, которое должен пройти первый поезд относительно второго — сумма их длин: $300 + 200 = 500 \text{ м}$.
- Время обгона: $t = \frac{S}{v} = \frac{500}{5} = 100 \text{ с}$.
- Ответ: 100 секунд.
Проверь себя:
- Задача: два поезда движутся в одном направлении со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч. Длина первого поезда — 400 м, второго — 100 м. За какое время первый поезд полностью обгонит второй?
- Решение: $72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}$, $54 \text{ км/ч} = 15 \text{ м/с}$. Относительная скорость: $20 - 15 = 5 \text{ м/с}$. Расстояние: $400 + 100 = 500 \text{ м}$. Время: $t = \frac{500}{5} = 100 \text{ с}$.
- Ответ: 100 секунд. Пояснение: важно понимать, что при обгоне нужно учитывать не только длину обгоняющего поезда, но и длину того, который обгоняют.
Типичные ошибки
- ❌ Не переводят единицы измерения в одну систему. Например, используют км/ч и метры одновременно. Это приводит к неверному результату.
- ❌ Неправильно интерпретируют расстояние. В задачах про поезд мимо столба забывают, что поезд должен проехать расстояние, равное своей длине. В задачах с платформой часто путают: считают, что поезд проезжает только длину платформы.
- ❌ Путают скорость и относительную скорость. В задачах с двумя поездами не учитывают, что нужно использовать относительную скорость (сумму или разность, в зависимости от направления движения).
- ❌ Пропускают проверку ответа. Получив ответ, не сверяют его с условием задачи — не понимают, логичен ли результат.
Заключение
Текстовые задачи на движение протяжённых тел — это важная часть подготовки к ОГЭ по математике. Они проверяют не только знание формул, но и умение логически мыслить, переводить единицы измерения, внимательно читать условие. Если вы будете следовать алгоритму и внимательно проверять каждый шаг, такие задачи перестанут казаться сложными.
Хотите разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайтесь с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по вашему темпу. 🎓 Репетиторство EasyKnow Записаться на пробный урок →
