Представьте: вы строите траекторию полёта мяча и хотите точно описать её математически. Именно для таких ситуаций в ОГЭ по математике встречается задание на нахождение формулы параболы по трём точкам. Оно не только проверяет знание квадратичных функций, но и умение логически мыслить и аккуратно выполнять вычисления. А вы уверены, что сможете безошибочно определить коэффициенты a, b и c, имея всего лишь координаты трёх точек? Давайте разберёмся пошагово, чтобы на экзамене не возникло сложностей.

Что представляет собой задание на нахождение формулы параболы по трём точкам

Задание 11 ОГЭ по математике проверяет умение работать с квадратичной функцией вида y = ax^2 + bx + c. Вам даётся три точки на координатной плоскости, через которые проходит парабола, и требуется найти значения коэффициентов a, b и c. За правильное решение можно получить определённое количество баллов — всё зависит от критериев оценивания, прописанных в контрольно-измерительных материалах. Основная сложность задания заключается в необходимости аккуратно решать систему уравнений и не допускать вычислительных ошибок.

В этом задании важно понимать, что каждая точка (x; y) даёт нам уравнение, подставляя значения в общую формулу параболы. Таким образом, три точки дают систему из трёх уравнений с тремя неизвестными — коэффициентами a, b и c. Решение этой системы и есть ответ к заданию.

Разбор типов задач на нахождение формулы параболы

Тип 1: точки с явными целыми координатами

Предположим, нам даны точки A(1; 6), B(2; 11) и C(3; 18). Подставим их в формулу y = ax^2 + bx + c.

Для точки A(1; 6): 6 = a⋅1^2 + b⋅1 + c ⇒ a + b + c = 6.

Для точки B(2; 11): 11 = a⋅2^2 + b⋅2 + c ⇒ 4a + 2b + c = 11.

Для точки C(3; 18): 18 = a⋅3^2 + b⋅3 + c ⇒ 9a + 3b + c = 18.

Получили систему: ⎧ a + b + c = 6, ⎨ 4a + 2b + c = 11, ⎩ 9a + 3b + c = 18.

Решаем её методом подстановки или сложения. Вычтем первое уравнение из второго: (4a + 2b + c) − (a + b + c) = 11 − 6 ⇒ 3a + b = 5.

Теперь вычтем второе из третьего: (9a + 3b + c) − (4a + 2b + c) = 18 − 11 ⇒ 5a + b = 7.

Получили новую систему: ⎧ 3a + b = 5, ⎩ 5a + b = 7.

Вычтем первое из второго: (5a + b) − (3a + b) = 7 − 5 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1.

Подставим a = 1 в 3a + b = 5: 3⋅1 + b = 5 ⇒ b = 2.

Теперь подставим a и b в первое уравнение a + b + c = 6: 1 + 2 + c = 6 ⇒ c = 3.

Ответ: a = 1, b = 2, c = 3, формула параболы: y = x^2 + 2x + 3.

Пример 2. Даны точки D(−1; 2), E(0; 1) и F(1; 4).

Для D(−1; 2): 2 = a⋅(−1)^2 + b⋅(−1) + c ⇒ a − b + c = 2. Для E(0; 1): 1 = a⋅0^2 + b⋅0 + c ⇒ c = 1. Для F(1; 4): 4 = a⋅1^2 + b⋅1 + c ⇒ a + b + c = 4.

Так как c = 1, подставим в остальные уравнения:

a − b + 1 = 2 ⇒ a − b = 1, a + b + 1 = 4 ⇒ a + b = 3.

Решаем систему: ⎧ a − b = 1, ⎩ a + b = 3.

Сложим уравнения: 2a = 4 ⇒ a = 2. Подставим в a − b = 1: 2 − b = 1 ⇒ b = 1.

Ответ: a = 2, b = 1, c = 1, формула: y = 2x^2 + x + 1.

Проверь себя: даны точки G(0; 3), H(1; 6) и I(2; 11). Найдите формулу параболы. Ответ: a = 2, b = 1, c = 3, формула: y = 2x^2 + x + 3. Пояснение: подставив точки в формулу, получаем систему уравнений, которую решаем последовательно, выражая переменные.

Тип 2: точки с дробными или отрицательными координатами

Иногда точки имеют более сложные координаты. Например, даны точки P(−2; 7), Q(0.5; 2) и R(1; 5).

Для P(−2; 7): 7 = a⋅(−2)^2 + b⋅(−2) + c ⇒ 4a − 2b + c = 7. Для Q(0.5; 2): 2 = a⋅(0.5)^2 + b⋅0.5 + c ⇒ 0.25a + 0.5b + c = 2. Для R(1; 5): 5 = a⋅1^2 + b⋅1 + c ⇒ a + b + c = 5.

Система: ⎧ 4a − 2b + c = 7, ⎨ 0.25a + 0.5b + c = 2, ⎩ a + b + c = 5.

Вычтем третье уравнение из первого: (4a − 2b + c) − (a + b + c) = 7 − 5 ⇒ 3a − 3b = 2 ⇒ a − b = 2/3.

Вычтем третье из второго: (0.25a + 0.5b + c) − (a + b + c) = 2 − 5 ⇒ −0.75a − 0.5b = −3 ⇒ 0.75a + 0.5b = 3.

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей: 3a + 2b = 12.

Теперь система: ⎧ a − b = 2/3, ⎩ 3a + 2b = 12.

Из первого: a = b + 2/3. Подставим во второе: 3(b + 2/3) + 2b = 12 ⇒ 3b + 2 + 2b = 12 ⇒ 5b = 10 ⇒ b = 2. Тогда a = 2 + 2/3 = 8/3. Подставим a и b в a + b + c = 5: 8/3 + 2 + c = 5 ⇒ 8/3 + 6/3 + c = 15/3 ⇒ 14/3 + c = 15/3 ⇒ c = 1/3.

Ответ: a = 8/3, b = 2, c = 1/3, формула: y = (8/3)x^2 + 2x + 1/3.

Пример 3. Даны точки S(−1; −4), T(0; −1) и U(2; 11).

Для S(−1; −4): −4 = a⋅(−1)^2 + b⋅(−1) + c ⇒ a − b + c = −4. Для T(0; −1): −1 = c. Для U(2; 11): 11 = a⋅4 + b⋅2 + c ⇒ 4a + 2b + c = 11.

Так как c = −1, подставим:

a − b − 1 = −4 ⇒ a − b = −3, 4a + 2b − 1 = 11 ⇒ 4a + 2b = 12 ⇒ 2a + b = 6.

Система: ⎧ a − b = −3, ⎩ 2a + b = 6.

Сложим: 3a = 3 ⇒ a = 1. Тогда b = 4 (из a − b = −3: 1 − b = −3 ⇒ b = 4).

Ответ: a = 1, b = 4, c = −1, формула: y = x^2 + 4x − 1.

Проверь себя: даны точки V(−0.5; −2), W(0; −1) и X(1; 4). Найдите формулу параболы. Ответ: a = 3, b = 2, c = −1, формула: y = 3x^2 + 2x − 1. Пояснение: при подстановке точек система уравнений решается последовательно, важно аккуратно работать с дробями и знаками.

Универсальный алгоритм нахождения формулы параболы по трём точкам

  1. Запишите общую формулу параболы: y = ax^2 + bx + c.
  2. Подставьте координаты первой точки в формулу — получите первое уравнение.
  3. Подставьте координаты второй точки — получите второе уравнение.
  4. Подставьте координаты третьей точки — получите третье уравнение.
  5. Составьте систему из трёх уравнений с тремя неизвестными (a, b, c).
  6. Решите систему методом подстановки или сложения (вычитания) уравнений.
  7. Найдите значения a, b и c.
  8. Запишите итоговую формулу параболы.

Важно: будьте внимательны при вычислениях, особенно при работе с дробями и отрицательными числами. Даже небольшая ошибка в знаке или коэффициенте приведёт к неверному ответу.

Типичные ошибки

  • ❌ Ошибки в подстановке координат. Иногда путают x и y, подставляя значение x там, где должно быть y. Всегда проверяйте, какое число соответствует абсциссе, а какое — ординате.
  • ❌ Неправильные знаки при подстановке отрицательных чисел. Например, при подстановке точки (−2; 7) часто ошибочно считают (−2)^2 как −4. Помните: квадрат отрицательного числа положителен.
  • ❌ Арифметические ошибки при вычислениях. Особенно часто встречаются при работе с дробями и отрицательными числами. Проверяйте каждый шаг вычислений, особенно когда умножаете или складываете дроби.
  • ❌ Неправильное решение системы уравнений. Иногда при сложении или вычитании уравнений ошибочно меняют знаки. Тщательно проверяйте каждый шаг решения системы.

Заключение

Нахождение формулы параболы по трём точкам — это не просто механическое применение формул, но и развитие логического мышления. Умение видеть систему в наборе данных, аккуратно выполнять вычисления и проверять себя — вот что отличает успешного ученика. Занимайтесь с преподавателем EasyKnow — мы поможем разобраться в тонкостях и научиться решать любые задачи быстро и без ошибок. 🎓

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →