Представьте, что вы строите маршрут на карте, где на разных участках действуют разные правила движения: в городе — одни ограничения скорости, за городом — другие. Примерно так же и кусочно-заданные функции: они меняют своё «поведение» в зависимости от участка области определения. Сегодня разберём, как определять число пересечений таких функций с горизонтальной прямой y = m — это и есть суть задания 22 ОГЭ по математике.
Часто ученики теряются, увидев несколько формул под одной фигурной скобкой. Им кажется, что это какая-то сверхсложная алгебра, хотя на самом деле это просто несколько функций, собранных в одну. Разберём всё по порядку.
Что представляет собой задание 22
Задание проверяет ваше умение работать с графиками функций, в частности — с кусочно-заданными функциями, которые включают в себя элементы гиперболы и прямой. Вы должны по формуле или по заданному правилу построить график кусочной функции и определить, при каких значениях параметра m прямая y = m пересекает этот график в определённом количестве точек.
Формат: требуется указать все значения параметра m, при которых прямая имеет с графиком функции заданное количество общих точек (например, три точки пересечения).
Баллы и критерии зависят от степени полноты и правильности решения. Чем детальнее расписан процесс и чем точнее указан ответ, тем выше оценка.
Разбираем типы кусочно-заданных функций
Кусочно-заданные функции могут состоять из разных «кусков»: линейных, гипербол, парабол и т. д. В нашем случае акцент — на гиперболы и прямые.
Случай 1: кусочная функция, включающая гиперболу и линейную часть
Представим функцию:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x}, & x < a, \\ bx + c, & x \geq a. \end{cases} $$
Пример. Пусть дана функция:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, & x < 0, \\ x + 3, & x \geq 0. \end{cases} $$
Нам нужно определить, при каких значениях m прямая y = m пересекает этот график ровно в двух точках.
Алгоритм решения:
- Разбейте задачу на два этапа: работайте сначала с первой частью функции (гипербола), потом со второй (прямая).
- Постройте график первой части: гипербола $$\frac{2}{x}$$ при $$x < 0$$. Это ветвь гиперболы в третьей четверти.
- Постройте вторую часть: прямая $$y = x + 3$$ при $$x \geq 0$$.
- Найдите точку стыка при $$x = 0$$: для гиперболы $$x = 0$$ не входит в область определения, а для прямой $$y(0) = 3$$.
- Проанализируйте, как прямая $$y = m$$ может пересечь оба участка. Для гиперболы каждое значение $$m < 0$$ даёт ровно одну точку пересечения (так как ветвь в III четверти), а для прямой любое $$m \geq 3$$ даёт одну точку.
- Итак, две точки пересечения могут получиться, если $$m < 0$$ — одна точка на гиперболе, а вторая — на прямой.
Проверь себя. Сколько точек пересечения будет при $$m = -1$$? Ответ: две. При $$m = -1$$ на гиперболе ($$x < 0$$) найдётся точка, где $$\frac{2}{x} = -1$$, то есть $$x = -2$$. На прямой $$x + 3 = -1$$ не имеет решений в области $$x \geq 0$$, но это не важно — одна точка на гиперболе, одна на прямой при $$x \geq 0$$, где $$y$$ растёт от 3 и выше. На самом деле при $$m = -1$$ будет только одна точка пересечения — на гиперболе. Здесь ловушка: если $$m < 0$$, то на прямой $$y = m$$ пересечь её нельзя, так как $$y \geq 3$$. Значит, ответ неверный. Исправим: при $$m < 0$$ — одна точка (на гиперболе); при $$m \geq 3$$ — одна точка (на прямой); при $$0 \leq m < 3$$ пересечений нет. Таким образом, чтобы было ровно две точки, такого $$m$$ не существует. Этот пример учит внимательно следить за областями определения и значениями.
Случай 2: кусочная функция, где обе части — прямые, но с разными угловыми коэффициентами, и одна из частей включает гиперболу с модулем
Рассмотрим функцию:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \neq 0, \\ 2x + 1, & x = 0. \end{cases} $$
Тут кусочная часть с модулем ведёт себя по-разному в зависимости от знака $$x$$. При $$x > 0$$: $$\frac{|x|}{x} = 1$$. При $$x < 0$$: $$\frac{|x|}{x} = -1$$. Получается, что график — это две горизонтальные прямые $$y = 1$$ и $$y = -1$$, плюс отдельная точка при $$x = 0$$, $$y = 1$$.
Пример. Требуется найти все значения $$m$$, при которых прямая $$y = m$$ пересекает график ровно в одной точке.
Алгоритм решения:
- Сначала построим «куски» без учёта стыка: при $$x > 0$$ график — прямая $$y = 1$$, при $$x < 0$$ — $$y = -1$$.
- Отметим, что в точке $$x = 0$$ значение задано отдельно: $$y = 1$$. Значит, на оси $$y = 1$$ есть «отдельная» точка при $$x = 0$$, которая не соединяется с другими.
- Анализируем пересечения: если $$m = 1$$, то прямая пересекает график в бесконечном числе точек (вся правая полуплоскость) плюс отдельная точка при $$x = 0$$ — итого бесконечно много.
- Если $$m = -1$$, то прямая пересекает график во всех точках $$x < 0$$, то есть опять бесконечно много.
- Если $$m$$ не равно $$-1$$ или $$1$$, то пересечений нет.
- Таким образом, нет таких $$m$$, при которых пересечение ровно в одной точке.
Проверь себя. Сколько точек пересечения у прямой $$y = 0$$ и этого графика? Ответ: ноль. Потому что ни при каких $$x$$ функция не принимает значение 0. При $$x > 0$$ функция всегда 1, при $$x < 0$$ всегда -1, в нуле — 1.
Универсальный алгоритм решения задания 22
- Внимательно прочитайте условие и выделите все части функции и их области определения.
- Постройте график каждой части в её области. Помните о выколотых точках, если они есть.
- Отметьте «стыки» между частями: проверьте, совпадают ли значения функции в точке перехода или нет.
- Нарисуйте несколько прямых $$y = m$$ для разных значений $$m$$ — так вы поймёте, как меняется число пересечений при изменении параметра.
- Для каждого количества пересечений (например, два, три) определите диапазон значений $$m$$, при которых это возможно.
- Запишите ответ в виде списка или интервала значений $$m$$.
- Перепроверьте: подставьте крайние значения и убедитесь, что количество точек совпадает.
Важный нюанс: часто ошибка в том, что ученики не учитывают, что точка стыка принадлежит только одному из кусков, если не оговорено обратное. Всегда сверяйтесь с условием — там чётко указано, где начинается и заканчивается каждый «кусок».
Пример комплексного решения
Задача. Дана функция:
$$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x < -1, \\ x^2, & -1 \leq x < 1, \\ 2x - 1, & x \geq 1. \end{cases} $$
Определите все значения $$m$$, при которых прямая $$y = m$$ пересекает график функции ровно в двух точках.
Решение.
- Строим первый «кусок»: гипербола $$y = -\frac{1}{x}$$ при $$x < -1$$. Это ветвь в II четверти, при $$x \to -\infty$$ стремится к 0, при $$x \to -1$$ стремится к 1.
- Второй «кусок»: парабола $$y = x^2$$ на отрезке $$[-1; 1)$$. В точке $$x = -1$$ значение равно 1, в точке $$x = 1$$ стремится к 1, но не достигает.
- Третий «кусок»: прямая $$y = 2x - 1$$ при $$x \geq 1$$. В точке $$x = 1$$ значение равно 1, функция возрастает.
- Анализируем стыки: в точке $$x = -1$$ левая часть стремится к 1, правая часть равна 1 — стык сплошной. В точке $$x = 1$$ парабола стремится к 1, прямая начинает с 1 — снова стык сплошной.
- Теперь смотрим, как ведёт себя прямая $$y = m$$:
- Если $$m < 0$$, пересечение только с гиперболой — одна точка.
- Если $$m = 0$$, пересечение с параболой — одна точка $$x = 0$$.
- Если $$0 < m < 1$$, пересечение с параболой даёт две точки (так как $$x^2 = m$$ имеет два решения: $$x = \sqrt{m}$$ и $$x = -\sqrt{m}$$), с гиперболой и прямой пересечений нет.
- Если $$m = 1$$, пересечение будет в трёх точках: $$x = -1$$ (парабола/гипербола), $$x = 1$$ (парабола/прямая), и ещё одна на прямой: $$2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 1$$ — она уже учтена. Так что всего две точки на стыках и одна на прямой? Пересчитаем: при $$m = 1$$ получаем $$x = -1$$ (сшивка), $$x = 1$$ (сшивка), и при $$x > 1$$: $$2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 1$$ — опять та же точка. Значит, всего две точки: $$x = -1$$ и $$x = 1$$.
- Если $$m > 1$$, прямая пересекает гиперболу (одна точка, так как $$x < -1$$) и прямую (одна точка, так как $$2x - 1 = m \Rightarrow x = \frac{m+1}{2} > 1$$), а парабола не пересекается (так как $$x^2 > 1$$ только при $$|x| > 1$$, а на отрезке $$[-1;1)$$ парабола не достигает $$m > 1$$).
Вывод: ровно две точки пересечения получаются при $$m \in (0; 1)$$ и при $$m \geq 1$$. Но при $$m > 1$$ точки две (на гиперболе и на прямой), при $$m = 1$$ — две точки на стыках, при $$0 < m < 1$$ — две точки на параболе. Итого: $$m \in (0; \infty)$$.
Проверь себя. Сколько точек пересечения будет при $$m = 0.5$$? Ответ: две. Уравнение $$x^2 = 0.5$$ имеет два решения: $$x = \pm \sqrt{0.5}$$, оба попадают в область $$[-1; 1)$$. На остальных частях пересечений нет.
Типичные ошибки
- ❌ Не учитывать области определения: строить гиперболу на всей числовой прямой, забыв про выколотые точки или интервалы.
- ❌ Путать знаки в гиперболе: например, путать $$y = \frac{1}{x}$$ и $$y = -\frac{1}{x}$$, что приводит к ошибкам в расположении ветвей.
- ❌ Неправильно отмечать стыки: забывать проверить, попадает ли точка стыка в область определения того или иного куска.
- ❌ Игнорировать частные значения параметра: например, думать, что при $$m = 0$$ всегда одно решение, не проверяя, какие куски участвуют.
- ❌ Забывать, что одна точка на графике может быть стыком двух функций — и тогда это нужно учитывать в подсчёте пересечений.
Заключение
Кусочно-заданные функции могут показаться сложными из-за обилия формул и ограничений, но если разбить задачу на части и построить график поэтапно, всё становится на свои места. Тренируйтесь: пробуйте строить графики для разных комбинаций гипербол, прямых и парабол, анализируйте, как меняется число пересечений при изменении параметра $$m$$.
🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →
