Что повторить по математике в сентябре: чек-лист для 9 класса

Ты вернулся в школу, а в голове ещё летние каникулы, а уже в сентябре учителя начнут говорить про ОГЭ? Не паникуй. Но и не откладывай всё на потом. Сейчас — идеальное время, чтобы мягко, без стресса, вспомнить то, что проходили в 5–8 классах. Потому что математика — это как лестница: если пропустишь ступеньку, на следующую не встанешь.

Вот почему в этой статье — не разбор заданий, не формат экзамена, а живой, понятный чек-лист: что повторить по математике в сентябре, чтобы с осени идти вперёд, а не догонять. Здесь нет воды, только суть, примеры и подсказки, как не наделать ошибок, которые потом будут преследовать тебя в ОГЭ.

📚 Что такое «база» в математике 9 класса?

Когда мы говорим «что повторить по математике в сентябре», мы имеем в виду не просто список тем. Мы говорим о фундаменте. Без него ни один график, ни одно уравнение, ни одна задача по геометрии не будут поняты по-настоящему.

Представь: ты хочешь собрать пазл, но не все кусочки у тебя на столе. Даже самые яркие фрагменты будут висеть в воздухе. Так и с математикой: если ты не помнишь, как работают дроби, зачем тебе квадратные уравнения? Если забыл, что такое проценты, как решать задачи на смеси и сплавы?

Сентябрь — не про новые темы. Он про возвращение к основам, про то, чтобы закрыть «белые пятна» до того, как они станут проблемой.

Давай разберём чек-лист по блокам: алгебра, геометрия, арифметика и логика. В каждом — что важно, как повторить, где чаще всего путаются и как проверить себя.

🔢 Арифметика: не думай, что это просто

Начнём с самого начала. Арифметика — это не только про сложение и умножение. Это про точность, про порядок действий, про понимание чисел. И, к сожалению, именно здесь чаще всего теряются баллы в ОГЭ — не потому что не знаешь, а потому что «в уме посчитал».

Дроби: обыкновенные и десятичные

Ты должен уметь:

• Складывать, вычитать, умножать и делить дроби.
• Переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.
• Сокращать дроби.
• Сравнивать дроби.

Пример:

Сравни: \(\frac{3}{4}\) и 0,73.

Кажется, просто? Но вот где ошибка: многие считают, что \(\frac{3}{4} = 0,75\), и думают: «ну, 0,75 > 0,73 — значит, первая больше». Правильно! Но если ты забыл, что \(\frac{3}{4} = 0,75\), ты можешь ошибиться.

Как проверить себя:

Переведи \(\frac{7}{8}\) в десятичную дробь.

> Ответ: 0,875. > Пояснение: 7 разделить на 8. 8 в 7 не входит — ставим 0, ставим запятую, 70 ÷ 8 = 8 (8×8=64), остаток 6. 60 ÷ 8 = 7 (56), остаток 4. 40 ÷ 8 = 5. Получилось 0,875.

Проценты: не только в магазине

Проценты — это не про скидки. Это про части от целого, про задачи на концентрацию, про рост и уменьшение величин.

Ты должен понимать:

• Что такое 1%? Это \(\frac{1}{100}\) числа.
• Как найти процент от числа: умножить число на дробь.
• Как найти число по его проценту: разделить часть на процент (в долях).
• Как посчитать, на сколько % увеличилось или уменьшилось число.

Пример:

Цена кроссовок выросла с 4000 до 4800 рублей. На сколько процентов?

Решение:

1. Найдём разницу: 4800 − 4000 = 800.
2. Считаем, какую часть 800 составляет от 4000: \(\frac{800}{4000} = 0,2\).
3. Переводим в проценты: 0,2 = 20%.

Проверь себя:

В классе 25 учеников. 40% — девочки. Сколько девочек?

> Ответ: 10. > Пояснение: 40% = 0,4. 25 × 0,4 = 10.

Степени: не только квадрат и куб

Степень — это умножение числа на себя. Но важно помнить:

• \(a^0 = 1\) (для любого \(a \neq 0\)).
• \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
• \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
• \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
• \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

Пример:

Упростите: \(\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^2}\)

Решение:

\(2^{5-3} = 2^2\), затем \(\frac{2^2}{2^2} = 2^{2-2} = 2^0 = 1\).

Проверь себя:

Чему равно \(3^{-2}\)?

> Ответ: \(\frac{1}{9}\). > Пояснение: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).

➕ Алгебра: уравнения, выражения, формулы

Алгебра — это язык математики. Если ты не понимаешь, как работают формулы и переменные, дальше будет тяжело. Вот что нужно освежить.

Упрощение выражений

Ты должен уметь:

• Раскрывать скобки.
• Приводить подобные.
• Выносить общий множитель.
• Работать с отрицательными числами и степенями.

Пример:

Упростите: \(3(x - 2) + 4(2x + 1)\)

Раскрываем: \(3x - 6 + 8x + 4 = 11x - 2\).

Проверь себя:

Упростите: \(5a - 2(3a - 4)\)

> Ответ: \(-a + 8\). > Пояснение: \(5a - 6a + 8 = -a + 8\).

Линейные уравнения

Простое уравнение вида \(ax + b = c\) — основа. Но часто ошибаются в знаках.

Алгоритм решения:

1. Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону, без \(x\) — в другую.
2. Меняем знак при переносе через знак равенства.
3. Считаем.
4. Делим обе части на коэффициент при \(x\).

Пример:

\(2x + 7 = 3x - 5\)

\(2x - 3x = -5 - 7\)

\(-x = -12\)

\(x = 12\)

Проверь себя:

Решите: \(4 - 3x = 2x + 14\)

> Ответ: \(x = -2\). > Пояснение: \(-3x - 2x = 14 - 4\) → \(-5x = 10\) → \(x = -2\).

Формулы сокращённого умножения

Это не для красоты. Эти формулы помогают решать уравнения, упрощать выражения и справляться с задачами на ОГЭ.

Запомни:

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Пример:

Разложите на множители: \(x^2 - 16\)

\(x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)\)

Проверь себя:

Представьте в виде квадрата суммы: \(x^2 + 6x + 9\)

> Ответ: \((x + 3)^2\). > Пояснение: \(3^2 = 9\), \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\) — подходит.

Системы уравнений

Особенно актуально для задач на движение и работу. Чаще всего — метод подстановки или сложения.

Пример методом подстановки:

\( \begin{cases} x + y = 7 \\ y = 2x - 1 \end{cases} \)

Подставляем второе в первое: \(x + (2x - 1) = 7\) → \(3x - 1 = 7\) → \(3x = 8\) → \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 2 \cdot \frac{8}{3} - 1 = \frac{16}{3} - \frac{3}{3} = \frac{13}{3}\).

Проверь себя:

Решите систему:

\( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \)

> Ответ: \(x = 2\), \(y = 1\). > Пояснение: Сложим уравнения: \(3x = 6\) → \(x = 2\). Подставим: \(2 - y = 1\) → \(y = 1\)

📐 Геометрия: не рисуй, думай

Геометрия — не про линейку и транспортир. Это про логику, про свойства фигур, про умение доказывать. И если ты не помнишь базовые теоремы, каждая задача будет казаться загадкой.

Треугольники: основа основ

Запомни:

• Сумма углов треугольника = 180°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В прямоугольном треугольнике один угол = 90°.
• Теорема Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\) (для прямоугольного треугольника).

Пример:

В треугольнике два угла равны 45° и 60°. Найдите третий угол.

\(180 - 45 - 60 = 75°\).

Проверь себя:

В равнобедренном треугольнике угол при вершине 100°. Найдите углы при основании.

> Ответ: по 40°. > Пояснение: \(180 - 100 = 80°\), \(80 ÷ 2 = 40°\).

Параллельные прямые и углы

Когда две параллельные прямые пересекает третья — появляются:

• Соответственные углы — равны.
• Накрест лежащие — равны.
• Односторонние — в сумме 180°.

Пример:

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из односторонних углов — 110°. Чему равен второй?

\(180 - 110 = 70°\).

Проверь себя:

Накрест лежащие углы равны 75°. Могут ли прямые быть параллельными?

> Ответ: да. > Пояснение: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны — это признак параллельности.

Четырёхугольники: не все квадраты одинаковы

Запомни свойства:

Пример:

Диагональ ромба делит его на два равных треугольника. Почему?

Потому что ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагональ — общая сторона, и по трём сторонам треугольники равны.

Проверь себя:

Верно ли, что любой ромб — параллелограмм?

> Ответ: да. > Пояснение: у ромба противоположные стороны параллельны — это следует из определения.

Площади фигур

Формулы нужно знать наизусть:

• Прямоугольник: \(S = a \cdot b\)
• Треугольник: \(S = \frac{1}{2} a h\)
• Параллелограмм: \(S = a h\)
• Трапеция: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\)

Пример:

Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см.

\(S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30\) см².

Проверь себя:

Площадь квадрата — 64 см². Чему равна его сторона?

> Ответ: 8 см. > Пояснение: \(\sqrt{64} = 8\).

🧠 Логика и текстовые задачи: где теряют баллы

Многие думают: «Я не гуманитарий, задачи не моё». Но текстовые задачи — это не про слова. Это про модель. Ты переводишь текст на язык математики.

Задачи на движение

Формула: \(S = v \cdot t\)

Важно:

• Все величины в одной системе (время — в часах, скорость — в км/ч).
• Встречное движение: скорости складываются.
• Движение вдогонку: вычитаются.

Пример:

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Один — со скоростью 12 км/ч, другой — 15 км/ч. Расстояние между ними — 81 км. Через сколько часов они встретятся?

\(12 + 15 = 27\) км/ч — скорость сближения.

\(81 ÷ 27 = 3\) часа.

Проверь себя:

Автомобиль ехал 2 часа со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?

> Ответ: 120 км. > Пояснение: \(60 \cdot 2 = 120\).

Задачи на работу

Аналогично движению: \(A = v \cdot t\), где \(A\) — работа (часто = 1).

Пример:

Первый рабочий делает заказ за 6 часов, второй — за 3 часа. За сколько часов они сделают его вместе?

Производительность первого: \(\frac{1}{6}\), второго: \(\frac{1}{3}\).

Суммарно: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Значит, вместе они делают половину работы в час → на всю работу уйдёт 2 часа.

Проверь себя:

Один насос наполняет бак за 4 часа, другой — за 12 часов. За сколько часов они наполнят бак вместе?

> Ответ: 3 часа. > Пояснение: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Значит, вместе — \(\frac{1}{3}\) бака в час → весь бак за 3 часа.

Задачи на проценты и смеси

Здесь важно понимать, что происходит с веществом.

Пример:

Смешали 2 литра 10%-го раствора с 3 литрами 20%-го. Какая концентрация получилась?

• В первом: \(2 \cdot 0,1 = 0,2\) л вещества.
• Во втором: \(3 \cdot 0,2 = 0,6\) л.
• Всего вещества: 0,8 л, всего раствора: 5 л.
• Концентрация: \(\frac{0,8}{5} = 0,16 = 16\%\).

Проверь себя:

Цена товара сначала выросла на 10%, потом снизилась на 10%. Изменилась ли цена?

> Ответ: да, стала меньше. > Пояснение: Пусть было 100 руб. Стало 110, потом 110 × 0,9 = 99 руб. Потеряли 1%.

❌ Частые заблуждения: что НЕ так, как кажется

• «Если число оканчивается на 0, оно делится на 5 и 10 — и всё» → А на 2? На 4? На 9? Признаки делимости — важны. Например, число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

• «Корень из суммы — это сумма корней» → Нет! \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Проверь: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), а \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).

• «Если угол в 4 раза больше другого, значит, 4x и x — и всё» → Не забывай про сумму! В треугольнике: \(4x + x + y = 180\) — нужно больше данных.

• «В геометрии можно просто по рисунку определить» → Никогда. Рисунок — для понимания. Ответ — по теоремам.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →

Подготовка к ОГЭ по математике — это не марафон, который начинается за месяц. Это ежедневная работа, где каждый день ты поднимаешься на одну ступеньку. А сентябрь — это момент, когда ты можешь начать с сильной позиции. Не потому что ты всё знаешь, а потому что ты знаешь, что нужно повторить по математике в сентябре, и уже начал это делать.

Не жди, пока учитель скажет: «Это вы должны были знать». Сделай это сам. Повтори дроби, вспомни формулы, реши пару задач. И уже через месяц ты почувствуешь: математика — это не страшно. Это понятно. И даже интересно.

А если вдруг запутался — мы рядом. В EasyKnow каждый ученик получает поддержку, объяснение «с нуля» и план, который ведёт к результату. Начни с чек-листа. Закончи — уверенным баллом на ОГЭ.