Представьте: вы открываете вариант ЕГЭ и видите задание 19. Первая мысль — «сложное, с ходу не решить». Но знаете, в чём секрет? Многие задания на числа и их свойства на самом деле проверяют не столько глубокие познания, сколько умение анализировать и рассуждать. Именно этому мы и будем учиться, разбирая задание 19. Сегодня расскажем, как действовать, чтобы уверенно набрать 2 балла на пунктах а и б.
Что представляет собой задание 19
Задание 19 ЕГЭ по математике посвящено числам и их свойствам. Оно проверяет умение анализировать числовые последовательности, свойства чисел, делимость, а также строить логические цепочки рассуждений. Формат задания предполагает несколько пунктов (а, б, в), которые постепенно усложняются. За полное правильное выполнение задания можно получить до 4 баллов, однако пункты а и б, как правило, имеют более прямолинейное решение и позволяют набрать 2 балла, если действовать методично.
Основная сложность заключается в том, что часто не сразу понятно, с какого конца подойти к задаче. Но если разложить всё по полочкам и следовать пошаговому алгоритму, вы почувствуете уверенность.
Типы задач на числа и их свойства
Задачи в задании 19 могут быть разных типов, но чаще всего встречаются следующие:
- Задачи на делимость — проверяют знание признаков делимости, умение применять их на практике, исследовать делимость составных выражений.
- Задачи на свойства последовательностей — могут касаться арифметических и геометрических прогрессий, свойств их сумм и отдельных членов.
- Задачи на числовые множества — требуют умения оперировать с множествами чисел, находить их пересечения, объединения и т. д.
- Задачи на построение примеров и контрпримеров — проверяют логическое мышление: нужно либо привести конкретный пример, удовлетворяющий условиям, либо доказать, что такой пример невозможен.
Разберём несколько примеров каждого типа, чтобы лучше понять подход к решению.
Пример 1: задачи на делимость
Условие: Дано число $N = 123456789$. а) Докажите, что $N$ не делится на 3. б) Найдите остаток от деления $N$ на 9.
Разбор:
а) Чтобы доказать, что число не делится на 3, можно воспользоваться признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Посчитаем сумму цифр $N$: $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$. Так как $45$ делится на $3$, то и $N$ делится на $3$. Здесь мы видим, что в условии была ошибка или провокация — на самом деле $N$ делится на $3$. Значит, чтобы выполнить пункт а, нужно корректно применить признак делимости и чётко показать вычисления.
б) Для нахождения остатка от деления на 9 используем признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр $N$ равна $45$, а $45$ делится на $9$ без остатка. Значит, остаток от деления $N$ на $9$ равен $0$.
Алгоритм решения для задач на делимость:
- Определить, какой признак делимости применим в данной задаче (на 2, 3, 5, 9, 10 и т. д.).
- Выполнить необходимые вычисления (например, посчитать сумму цифр).
- Применить признак и сделать вывод.
- Проверить вычисления, чтобы исключить арифметические ошибки.
Проверь себя: докажите, что число $M = 987654321$ делится на $9$. Ответ: сумма цифр $M$ равна $45$, а $45$ делится на $9$ без остатка. Значит, $M$ делится на $9$.
Пример 2: задачи на свойства последовательностей
Условие: Рассмотрим последовательность, заданную рекуррентно: $a1 = 1$, $a{n+1} = an + 3$. а) Найдите $a5$. б) Докажите, что все члены последовательности нечётные.
Разбор:
а) Посчитаем последовательно члены последовательности:
- $a1 = 1$;
- $a2 = a1 + 3 = 4$;
- $a3 = a2 + 3 = 7$;
- $a4 = a3 + 3 = 10$;
- $a5 = a4 + 3 = 13$.
Таким образом, $a5 = 13$.
б) Докажем утверждение индукцией по $n$.
- База: $a1 = 1$ — нечётное.
- Переход: предположим, что $an$ — нечётное, тогда $a{n+1} = an + 3$ (сумма двух нечётных чисел) — чётное? Ошибка! Сумма нечётного и нечётного — чётное, но здесь мы видим, что $1 + 3 = 4$, $7 + 3 = 10$ — чётные. Но наша последовательность начинается с $1$ и каждый раз прибавляем $3$: $1, 4, 7, 10, 13$… Видим закономерность: нечётные и чётные чередуются. Значит, утверждение в пункте б неверно — не все члены нечётные. Скорее всего, в условии была иная задумка. Для корректного решения важно внимательно анализировать закономерность.
Алгоритм решения для последовательностей:
- Выписать первые несколько членов последовательности.
- Найти закономерность (арифметическая/геометрическая прогрессия, рекуррентная формула и т. д.).
- Использовать найденную закономерность для ответа на вопросы а и б.
- При необходимости применить метод математической индукции для доказательства.
Проверь себя: для той же последовательности найдите $a7$. Ответ: $a6 = a5 + 3 = 13 + 3 = 16$, $a7 = a6 + 3 = 16 + 3 = 19$.
Пример 3: задачи на построение примеров и контрпримеров
Условие: Существует ли такое натуральное число $x$, что сумма его цифр равна $10$, а само число делится на $11$? а) Приведите пример такого числа или докажите, что его не существует. б) Приведите пример такого числа, которое имеет ровно $4$ цифры.
Разбор:
а) Для ответа на вопрос попробуем подобрать число. Вспомним признак делимости на $11$: число делится на $11$, если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на $11$ (включая $0$).
Попробуем число $209$: сумма цифр $2 + 0 + 9 = 11$ (не подходит, нужна сумма $10$). Число $190$: сумма цифр $1 + 9 + 0 = 10$. Разность: $(1 + 0) - 9 = -8$ — не делится на $11$. Число $550$: сумма цифр $5 + 5 + 0 = 10$. Разность: $(5 + 0) - 5 = 0$ — делится на $11$. Значит, $550$ подходит.
б) Пример четырёхзначного числа: $2062$. Сумма цифр: $2 + 0 + 6 + 2 = 10$. Разность: $(2 + 6) - (0 + 2) = 6$ — не подходит. Попробуем $1333$: сумма $1 + 3 + 3 + 3 = 10$. Разность: $(1 + 3) - (3 + 3) = -2$ — не подходит. Подходящее число: $2242$: сумма $2 + 2 + 4 + 2 = 10$, разность: $(2 + 4) - (2 + 2) = 2$ — не подходит. После перебора находим: $4411$: сумма $4 + 4 + 1 + 1 = 10$, разность: $(4 + 1) - (4 + 1) = 0$ — подходит.
Алгоритм решения для построения примеров:
- Вспомнить нужный признак или теорему.
- Начать с простых примеров и постепенно усложнять.
- Использовать перебор в разумных пределах, если других методов нет.
- После нахождения примера проверить его на соответствие всем условиям задачи.
Проверь себя: существует ли трёхзначное число, сумма цифр которого равна $12$, и которое делится на $7$? Приведите пример. Ответ: да, например, $259$: сумма цифр $2 + 5 + 9 = 16$ — не подходит. $147$: сумма $1 + 4 + 7 = 12$, $147 : 7 = 21$ — подходит.
Универсальный алгоритм решения задания 19 (пункты а и б)
- Внимательно прочитайте условие задачи. Выделите ключевые слова: «докажите», «приведите пример», «найдите остаток» и т. д. Это сразу подскажет, какой тип рассуждения использовать.
- Определите тип задачи. (Делимость, последовательности, множества и т. д.) Это поможет выбрать нужные теоремы и признаки.
- Выпишите все известные факты. Например, признаки делимости, формулы для последовательностей, свойства множеств.
- Выполните необходимые вычисления или построения. Будьте внимательны к арифметическим операциям, они часто становятся источником ошибок.
- Сформулируйте вывод. Для доказательства — последовательно и логично. Для примера — чётко укажите, что он удовлетворяет условиям.
- Проверьте решение. Вернитесь к условию задачи и убедитесь, что вы ответили на все поставленные вопросы.
Типичные ошибки
- ❌ Игнорирование признака делимости. Многие пытаются перебирать числа, не используя признаки делимости. Это неэффективно и приводит к потере времени.
- ❌ Неверный переход в индукции. При использовании математической индукции важно правильно сформулировать переход: не просто «предположим, что верно для $n$», а чётко показать, как из этого следует утверждение для $n+1$.
- ❌ Ошибки в арифметике. Даже если вы всё поняли теоретически, одна ошибка в сложении или вычитании может привести к неверному ответу.
- ❌ Неполное доказательство. В задачах на доказательство важно не только привести несколько примеров, но и обосновать утверждение для всех случаев, используя общий метод (индукцию, признаки делимости и т. д.).
- ❌ Неверный анализ последовательности. При работе с последовательностями легко ошибиться в поиске закономерности, особенно если члены чередуются или изменяются нелинейно.
Заключение
Задание 19 может показаться сложным, но если подходить к нему системно и следовать алгоритму, вы сможете уверенно решить пункты а и б и набрать 2 балла. Помните, что ключ к успеху — это анализ условия, выбор правильного подхода и аккуратные вычисления. Регулярная практика, разбор разных типов задач и понимание теории — вот что поможет вам уверенно справляться с любыми вариациями этого задания.
🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок → }
