Прямоугольные треугольники в ЕГЭ по профильной математике

Прямоугольный треугольник — одна из самых частых и самых «лёгких» тем в первой части профильного ЕГЭ, если понимать логику, а не заучивать формулы. Такие задачи встречаются в задании №1, реже — как часть более сложных геометрических задач.

Разберём:

какие элементы есть у прямоугольного треугольника;
какие формулы используются;
почему именно они работают;
как решать типовые задания шаг за шагом.

Что такое прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°.

Его элементы:

гипотенуза — сторона напротив прямого угла (самая длинная);
катеты — две стороны, которые образуют прямой угол;
острые углы — два других угла, сумма которых всегда 90°.

Важно:

👉 Если угол 90°, то напротив него всегда гипотенуза.

Теорема Пифагора — основа всех задач

Формула:

a² + b² = c²

где

a и b — катеты
c — гипотенуза

Почему так считается

Прямоугольный треугольник можно вписать в квадрат так, что площади маленьких квадратов на катетах в сумме равны площади большого квадрата на гипотенузе. Поэтому складываются квадраты, а не сами стороны.

Тип 1. Найти гипотенузу (задание №1)

Условие:

Катеты равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

Решение:

Записываем теорему Пифагора:
6² + 8² = c²

Считаем квадраты:
36 + 64 = 100

Извлекаем корень:
c = 10

Ответ:

Почему нельзя сложить просто 6 + 8

Потому что расстояние «по диагонали» всегда короче, чем путь по двум сторонам.

Тип 2. Найти катет

Условие:

Гипотенуза равна 13, один катет равен 5. Найдите второй катет.

Решение:

Записываем формулу:
5² + x² = 13²

Подставляем:
25 + x² = 169

Переносим:
x² = 144

Корень:
x = 12

Ответ:

Тип 3. Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади:

S = (a · b) / 2

Почему делим на 2

Прямоугольный треугольник — это половина прямоугольника, построенного на катетах.

Пример (задание №1)

Катеты равны 6 и 10. Найдите площадь.

Решение:

S = (6 · 10) / 2 = 30

Ответ:

Занятия с опытными репетиторами по математике на удобной онлайн платформе Easyknow!

Тип 4. Острые углы прямоугольного треугольника

Главное правило:

Сумма острых углов = 90°

Пример:

Один острый угол равен 35°. Найдите второй.

Решение:

90° − 35° = 55°

Ответ:

55°

Тип 5. Специальные прямоугольные треугольники

1️⃣ Треугольник 45°–45°–90°

Катеты равны, гипотенуза больше катета в √2 раза.

Если катет = a, то гипотенуза = a√2

Почему

Диагональ квадрата со стороной a всегда равна a√2.

2️⃣ Треугольник 30°–60°–90°

Соотношение сторон:

напротив 30° → a
напротив 60° → a√3
гипотенуза → 2a

Почему

Этот треугольник получается при разрезании равностороннего треугольника.

Тип 6. Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка.

Формула:

h² = p · q

где p и q — части гипотенузы.

Почему

Образуются подобные треугольники, и между сторонами появляется пропорция.

Типичные ошибки учеников

❌ Путают катет и гипотенузу

❌ Складывают стороны вместо квадратов

❌ Делят не на 2 при поиске площади

❌ Забывают, что в задании №1 нужен числовой ответ

Как гарантированно решить задание №1 на треугольники

Найди прямой угол
Определи гипотенузу
Выпиши формулу
Подставь числа
Проверь: ответ реалистичный?

Краткая шпаргалка

a² + b² = c²
S = ab / 2
Острые углы = 90°
45°–45°–90° → √2
30°–60°–90° → 1 : √3 : 2

🎓 Репетиторство easyknow

Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений?
Занимайся с преподавателем easyknow — индивидуально, просто и по твоему темпу.
Записаться на пробный урок

💬 Кураторство easyknow

Нужна поддержка в учебе, но не хочешь сразу на урок?
Подключи куратора easyknow — он поможет с задачами и объяснит непонятное прямо в мессенджере.
Получить помощь куратора