Представьте: вы уже решили тригонометрическое уравнение, выписали корни… и замираете в сомнениях: а какие из них действительно попадают в нужный промежуток? Именно на этом этапе многие теряют баллы в задании №13 ЕГЭ по математике. Сегодня мы разберём, как уверенно отбирать корни с помощью двойного неравенства, чтобы не допустить досадных ошибок.
Что представляет собой задание №13: тригонометрические уравнения с отбором корней
Задание №13 ЕГЭ по математике направлено на проверку умения решать тригонометрические уравнения и отбирать корни на заданном промежутке. Оно оценивается в 2 балла, причём критерии включают:
- Корректное решение уравнения (включая все преобразования и переходы).
- Правильный отбор корней из заданного промежутка (с обоснованием).
Формат задания предполагает, что вам будет предложено уравнение с тригонометрическими функциями и указанный отрезок для отбора корней. Ваша задача — не только найти все корни уравнения, но и точно определить, какие из них попадают в заданный интервал.
Основные типы тригонометрических уравнений в задании №13
Уравнения, сводимые к квадратным
Такие уравнения часто содержат функции sin или cos в различных степенях. Ключевой шаг — замена переменной, чтобы свести уравнение к квадратному, а затем — возвращение к исходной переменной и решение простых тригонометрических уравнений.
Пример
Решите уравнение $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ и найдите корни на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.
Решение
- Замена: $\sin x = t$. Получаем уравнение $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
- Решение квадратного уравнения: $t1 = 1$, $t2 = \frac{1}{2}$.
- Возврат к исходной переменной:
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
- $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.
- Отбор корней на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ с помощью двойного неравенства:
- Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq 2\pi$. Решая неравенство, получаем $0 \leq n \leq \frac{1}{2}$, то есть $n = 0$, и корень $x = \frac{\pi}{2}$.
- Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 2\pi$. Решаем: $\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{11}{12}$, что не даёт целых $k$.
- Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: $\frac{\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \leq 2\pi$. Получаем $-\frac{1}{6} \leq m \leq \frac{7}{12}$, то есть $m = 0$, и корень $x = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$.
Алгоритм решения:
- Привести уравнение к виду, удобному для замены переменной (если возможно).
- Решить полученное уравнение (квадратное или другое).
- Вернуть к исходной переменной.
- Решить простые тригонометрические уравнения.
- Отбрать корни на заданном отрезке с помощью двойного неравенства.
Проверь себя
Решите уравнение $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ и найдите корни на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.
Верный ответ: $\frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$.
Пояснение: после замены $\cos x = t$ и решения квадратного уравнения получаем $t1 = -1$, $t2 = \frac{1}{2}$. Соответственно, $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ и $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Отбор корней на отрезке даёт $x = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$.
Уравнения с использованием формул приведения и преобразований
Здесь часто требуется использовать формулы приведения, формулы суммы и разности, а также формулы понижения степени или преобразования произведения в сумму.
Пример
Решите уравнение $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$ и найдите корни на отрезке $[0; \pi]$.
Решение
- Применение формулы приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$. Уравнение принимает вид $\cos x = \cos x$, что верно для всех $x$.
- Следовательно, любое $x$ является решением уравнения.
- Отбор корней на отрезке $[0; \pi]$: любой $x$ из этого отрезка подходит.
Однако в реальных заданиях уравнения обычно не столь тривиальны. Рассмотрим более сложный пример.
Пример
Решите уравнение $2\sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и найдите корни на отрезке $[0; \pi]$.
Решение
- Используем формулу двойного угла: $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Уравнение принимает вид $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Решение уравнения: $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- Отсюда: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ или $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
- Отбор корней на отрезке $[0; \pi]$:
- Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$: при $n = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$; при $n = 1$ — $x = \frac{7\pi}{6}$, что не входит в отрезок.
- Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$: при $n = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$; при $n = 1$ — $x = \frac{4\pi}{3}$, что также не входит в отрезок.
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$.
Алгоритм решения:
- Преобразовать уравнение с помощью тригонометрических формул.
- Решить полученное уравнение.
- Выписать общие формулы корней.
- Отбор корней на заданном отрезке с помощью двойного неравенства.
Проверь себя
Решите уравнение $\sin 2x = \frac{1}{2}$ и найдите корни на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$.
Верный ответ: $\frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}$.
Пояснение: уравнение $\sin 2x = \frac{1}{2}$ имеет решения $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Отсюда $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$ или $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$. Отбор корней на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$ даёт $x = \frac{5\pi}{12}$ (при $n=0$ для второго ряда) и $x = \frac{13\pi}{12}$ (при $n=1$ для первого ряда).
Универсальный алгоритм решения задания №13
- Преобразование уравнения. Используйте тригонометрические формулы для упрощения уравнения. Приведите уравнение к виду, в котором его можно решить стандартными методами (например, заменой переменной).
- Решение уравнения. Найдите общие формулы корней уравнения. Запишите их в явном виде, с учётом всех возможных значений (с параметрами $n, k, m$ и т. д.).
- Отбор корней с помощью двойного неравенства. Для каждого ряда корней составьте двойное неравенство, отражающее заданный отрезок. Решите неравенство относительно параметра (например, $n$), найдите целые значения параметра и подставьте их в общую формулу корней, чтобы получить конкретные значения.
- Проверка и запись ответа. Проверьте, что все найденные корни действительно принадлежат заданному отрезку, и запишите их в ответе.
Рассмотрим этот алгоритм на ещё одном примере.
Пример
Решите уравнение $\cos 2x = -\frac{1}{2}$ и найдите корни на отрезке $[-\pi; \pi]$.
Решение
- Решение уравнения: $2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.
- Отбор корней на отрезке $[-\pi; \pi]$:
- Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$: $-\pi \leq \frac{\pi}{3} + \pi n \leq \pi$. Решаем: $-\frac{4}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}$, то есть $n = -1, 0$. Корни: $x = -\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$.
- Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$: $-\pi \leq -\frac{\pi}{3} + \pi n \leq \pi$. Решаем: $-\frac{2}{3} \leq n \leq \frac{4}{3}$, то есть $n = 0, 1$. Корни: $x = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.
Типичные ошибки
- ❌ Неправильный выбор формулы для преобразования уравнения. Например, путаница между формулами двойного угла или формул приведения может привести к неверному уравнению и, как следствие, к ошибочным корням.
- ❌ Ошибки при решении двойного неравенства. Часто учащиеся неверно определяют диапазон значений параметра $n$, из-за чего теряют корни или включают лишние.
- ❌ Игнорирование периодичности функций. Забыв о том, что тригонометрические функции периодичны, можно упустить целые серии решений, что приведёт к неполному ответу.
- ❌ Неточная проверка принадлежности корней отрезку. Даже если корни найдены верно, их необходимо тщательно проверить на соответствие заданному отрезку. Ошибки в округлении или в интерпретации границ отрезка могут привести к потере баллов.
🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →
Заключая наш разбор, отметим: ключ к успешному выполнению задания №13 — в методичности и внимательности. Не торопитесь, проверяйте каждый шаг, используйте двойное неравенство аккуратно — и успех гарантирован!
