Представьте: вы пытаетесь оценить шансы на то, что сегодня пойдёт дождь или будет ветрено. Вы знаете вероятность каждого явления по отдельности, но как посчитать шанс, что произойдёт хотя бы одно из них? Вот тут-то и пригодится теорема о вероятности совместных событий! В ЕГЭ по математике такие задачи нередко ставят в тупик из-за путаницы с условиями пересечения и объединения событий. Давайте разберёмся, как применять формулу P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) и не допускать ошибок.

Что представляет собой задание на теорему вероятности совместных событий

Задание на теорему вероятности совместных событий проверяет понимание основных понятий теории вероятностей: что такое совместные события, их объединение и пересечение, а также умение корректно применять формулу для нахождения вероятности объединения двух событий. В формате КИМ это обычно текстовая задача с описанием случайного опыта (подбрасывание монет, выбор карт, результаты экспериментов). За правильное решение можно получить баллы, которые зависят от полноты и корректности расстановки шагов и обоснований. Важно не просто подставить числа в формулу, но и чётко обосновать, почему в данном случае события считаются совместными, как определяются их вероятности и как вычисляется вероятность пересечения.

Разбор типов задач на теорему вероятности совместных событий

Тип 1: классическая задача с равновероятными исходами

Представьте эксперимент: из колоды в 36 карт наугад извлекается одна карта. Событие A — карта червовой масти, событие B — карта — «дама». Какова вероятность того, что извлечённая карта окажется червовой мастью ИЛИ дамой?

Разбор:

  • Общее число исходов: 36.
  • Число исходов, благоприятствующих событию A (червовая масть): 9 (по одной на каждую масть).
  • Число исходов, благоприятствующих событию B (дама): 4 (по одной на каждую масть).
  • Событие AB — карта, которая одновременно и дама, и червовая: это червовая дама. Один исход.
  • Вероятности: P(A) = 9/36 = 1/4, P(B) = 4/36 = 1/9, P(AB) = 1/36.
  • По формуле: P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 1/4 + 1/9 − 1/36. Приведём к общему знаменателю 36: 9/36 + 4/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3.
  • Итак, вероятность того, что извлечённая карта окажется червовой мастью или дамой, равна 1/3.

Алгоритм решения:

  1. Определите общее число равновероятных исходов эксперимента.
  2. Подсчитайте число исходов, благоприятствующих каждому из событий A и B.
  3. Найдите число исходов, которые одновременно благоприятствуют обоим событиям (AB).
  4. Вычислите вероятности P(A), P(B) и P(AB) как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
  5. Подставьте в формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB).
  6. Упростите и представьте ответ в виде несократимой дроби или десятичной дроби по требованию задачи.

Проверь себя: Какова вероятность, что из колоды в 36 карт извлечена карта пиковой масти ИЛИ карта с числом (от 6 до 10)? Ответ: 7/12. Пояснение: число карт пиковой масти — 9; число карт с числами от 6 до 10 — 20 (по 5 карт на каждую масть); число карт, которые одновременно пиковые и с числами от 6 до 10 — 5. Тогда P(A) = 9/36, P(B) = 20/36, P(AB) = 5/36. Следовательно, P(A+B) = 9/36 + 20/36 − 5/36 = 24/36 = 2/3. Ошибка здесь в том, что неверно подсчитано число карт с числами — на самом деле их 20 (а не 15), поэтому вероятность 24/36 = 2/3 неверна. Правильный ответ — 24/36 = 2/3? Нет, 24/36 = 2/3 — это ошибка. Правильный расчёт: 9 + 20 − 5 = 24, 24/36 = 2/3. Но давайте перепроверим: 9 пиковых, 20 чисел, 5 пересечение, итого 24 из 36 — это 2/3. Да, ответ верный.

Тип 2: задачи с экспериментами с не-классическими вероятностями (зависимые или условные события)

Рассмотрим такую ситуацию: в урне лежат 7 белых и 5 чёрных шаров. Из урны наугад достают два шара подряд без возвращения. Событие A — первый шар белый, событие B — второй шар белый. Требуется найти вероятность того, что хотя бы один из двух шаров — белый.

Разбор:

  • Вероятность события A: P(A) = 7/12 (первый шар белый).
  • Вероятность события B зависит от исхода события A. Если первый шар белый (A), то в урне остаётся 6 белых и 5 чёрных шаров, тогда P(B|A) = 6/11. Если первый шар не белый (не A), то остаётся 7 белых и 4 чёрных, тогда P(B|не A) = 7/11.
  • Чтобы найти P(AB), используем правило умножения вероятностей: P(AB) = P(A) · P(B|A) = (7/12) · (6/11) = 42/132 = 7/22.
  • Теперь P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB). Нам известна P(A) и P(AB), но P(B) не дана напрямую. Однако можно заметить, что задача не требует нахождения P(B) отдельно — мы можем использовать P(A) и P(AB), чтобы выразить P(A+B) через уже известные величины. Но давайте уточним: P(B) можно найти как сумму P(B и A) + P(B и не A) = P(AB) + P(не A) · P(B|не A) = 7/22 + (5/12) · (7/11) = 7/22 + 35/132 = 42/132 + 35/132 = 77/132 = 7/12. Это ожидаемо: из-за симметрии P(B) = P(A).
  • Тогда P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 7/12 + 7/12 − 7/22 = 14/12 − 7/22 = 7/6 − 7/22 = (77 − 21)/66 = 56/66 = 28/33.
  • Значит, вероятность того, что хотя бы один шар белый, равна 28/33.

Алгоритм решения:

  1. Установите, зависимы ли события A и B (влияет ли исход A на вероятность B).
  2. Вычислите P(A) по данным задачи.
  3. Найдите P(B|A) и P(B|не A) при наличии информации о зависимости.
  4. Определите P(AB) через умножение: P(A) · P(B|A).
  5. Если требуется, найдите P(B), используя полную вероятность: P(B) = P(AB) + P(не A) · P(B|не A).
  6. Примените формулу P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB).
  7. Упростите выражение и представьте ответ в нужной форме.

Проверь себя: В урне 8 белых и 6 чёрных шаров. Из урны наугад достают два шара подряд без возвращения. Какова вероятность, что хотя бы один из шаров — белый? Ответ: 74/91. Пояснение: P(A) = 8/14 = 4/7, P(B|A) = 7/13, P(B|не A) = 8/13, P(AB) = (4/7) · (7/13) = 4/13. P(B) = P(AB) + P(не A) · P(B|не A) = 4/13 + (3/7) · (8/13) = 4/13 + 24/91 = 28/91 + 24/91 = 52/91 = 4/7. Тогда P(A+B) = 4/7 + 4/7 − 4/13 = 8/7 − 4/13 = (104 − 28)/91 = 76/91. Ошибка: при подсчёте P(B) получается 52/91, а не 4/7. Пересчитаем: P(A+B) = 8/14 + 52/91 − 4/13. Приведём всё к знаменателю 91: 8/14 = 52/91, 4/13 = 28/91. Тогда 52/91 + 52/91 − 28/91 = 76/91. Исправленный ответ: 76/91.

Универсальный алгоритм применения формулы P(A+B) = P(A)+P(B)−P(AB)

  1. Внимательно прочитайте условие и выделите события A и B, которые интересуют в задаче.
  2. Определите тип событий: являются ли они совместными (могут ли произойти одновременно) или несовместными (взаимоисключающими).
  3. Подсчитайте или вычислите вероятности P(A) и P(B) — вероятность наступления каждого из событий в отдельности.
  4. Найдите вероятность пересечения событий P(AB) — вероятность того, что произойдут и A, и B одновременно. В случае независимых событий: P(AB) = P(A) · P(B). В случае зависимых: P(AB) = P(A) · P(B|A) или P(B) · P(A|B).
  5. Подставьте значения в формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB).
  6. Выполните арифметические вычисления, упростите результат и представьте его в требуемой форме (дробь, десятичное число, процент).
  7. Проанализируйте полученный ответ: он должен быть числом от 0 до 1 (вероятность) и соответствовать логике задачи.

Типичные ошибки при применении формулы

  • ❌ Неверная идентификация событий: ученики путают, какие события являются A и B, особенно когда в условии описывается много вариантов. Нужно выделять именно те, что интересуют по условию («хотя бы одно», «или одно, или другое»).
  • ❌ Игнорирование пересечения: часто забывают вычесть P(AB), считая, что P(A+B) = P(A) + P(B) всегда верно. Это справедливо только для несовместных событий. Для совместных — обязательно вычитание пересечения.
  • ❌ Неправильное вычисление P(AB): путают независимость и зависимость событий, забывают использовать условную вероятность, неверно вычисляют количество исходов при равновероятном случае (например, не учитывают, что исходы могут быть нецелочисленными или связаны с комбинаторикой).
  • ❌ Арифметические ошибки: неправильные сокращения дробей, ошибки при сложении/вычитании дробей с разными знаменателями, неверные округления при переходе к десятичным числам.

Заключение

Теорема о вероятности совместных событий и формула P(A+B) = P(A)+P(B)−P(AB) — мощный инструмент для решения сложных задач на вероятность в ЕГЭ. Она позволяет корректно учесть случаи, когда события могут пересекаться, и получить верный результат. Чтобы уверенно решать такие задания, отрабатывайте разные типы условий — от классической вероятности до задач с зависимыми событиями. Практикуйтесь, ищите и разбирайте частные случаи, и вы увидите, как уверенно начнёт расти ваш балл на экзамене.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →