Представьте, что вы — инженер, проектирующий сложную систему. Вам нужно предсказать поведение этой системы при очень больших или очень малых значениях параметров. Именно для этого и нужны графики дробно-рациональных функций с горизонтальными асимптотами! Они показывают, к чему стремится функция, когда переменная уходит в бесконечность. Сегодня мы разберёмся, как строить и читать такие графики — чтобы успешно справиться с заданием 9 ЕГЭ 2026.

Что представляет собой задание 9 по построению и чтению графиков дробно-рациональных функций

Задание 9 проверяет, насколько хорошо вы понимаете поведение дробно-рациональных функций, умеете находить их асимптоты и строить графики. Оно может включать в себя чтение графика с определением свойств функции или построение графика по заданному уравнению. В рамках задания вам нужно продемонстрировать знание основных свойств дробно-рациональных функций, включая вертикальные и горизонтальные асимптоты, точки пересечения с осями координат и особенности поведения функции вблизи асимптот.

Графики дробно-рациональных функций часто имеют вид, отличающийся от привычных квадратичных или линейных. Наличие асимптот делает их изучение особенно важным — именно асимптоты определяют границы поведения функции.

Типы дробно-рациональных функций и их графики

Рассмотрим несколько основных типов дробно-рациональных функций, которые могут встретиться в задании:

Тип 1: функция вида y = k/(x - a) + b

Это одна из базовых дробно-рациональных функций. Её график представляет собой гиперболу, смещённую по осям. Горизонтальная асимптота для такой функции — прямая y = b, а вертикальная — x = a.

Пример: построим график функции y = 2/(x - 1) + 3.

  1. Определяем асимптоты: вертикальная — x = 1, горизонтальная — y = 3.
  2. Находим точки пересечения с осями координат: подставляем x = 0 и y = 0 в уравнение.
  • При x = 0: y = 2/(-1) + 3 = -2 + 3 = 1. Точка (0; 1).
  • При y = 0: 0 = 2/(x - 1) + 3. Решаем уравнение: 2/(x - 1) = -3, 2 = -3(x - 1), 2 = -3x + 3, 3x = 1, x = 1/3. Точка (1/3; 0).
  1. Строим график, учитывая расположение асимптот и найденных точек.

Проверь себя: определите горизонтальную асимптоту функции y = -1/(x + 2) + 4. Ответ: y = 4. Пояснение: горизонтальная асимптота определяется свободным членом в выражении после дроби.

Тип 2: функция вида y = (ax + b)/(cx + d)

Такие функции также являются дробно-рациональными. Их график также может иметь вертикальную и горизонтальную асимптоты. Вертикальная асимптота определяется нулём знаменателя, горизонтальная — отношением коэффициентов при старших степенях числителя и знаменателя.

Пример: построим график функции y = (2x + 1)/(x - 3).

  1. Вертикальная асимптота: x - 3 = 0, то есть x = 3.
  2. Горизонтальная асимптота: отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе: y = 2/1 = 2.
  3. Точки пересечения с осями:
  • При x = 0: y = (0 + 1)/(0 - 3) = 1/(-3) = -1/3. Точка (0; -1/3).
  • При y = 0: (2x + 1)/(x - 3) = 0. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 2x + 1 = 0, x = -1/2. Точка (-1/2; 0).
  1. Строим график, учитывая асимптоты и точки.

Проверь себя: определите горизонтальную асимптоту функции y = (3x - 5)/(2x + 4). Ответ: y = 3/2. Пояснение: горизонтальная асимптота находится как отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе.

Тип 3: функция вида y = (ax² + bx + c)/(dx² + ex + f)

При одинаковых степенях числителя и знаменателя график также имеет горизонтальную асимптоту. Её значение определяется отношением коэффициентов при старших степенях.

Пример: построим график функции y = (x² + 2x + 1)/(x² - 1).

  1. Вертикальные асимптоты: знаменатель равен нулю при x² - 1 = 0, то есть x = 1 и x = -1.
  2. Горизонтальная асимптота: отношение коэффициентов при x² в числителе и знаменателе: y = 1/1 = 1.
  3. Упрощаем выражение: y = (x + 1)²/((x - 1)(x + 1)). При x ≠ -1 можно сократить на (x + 1): y = (x + 1)/(x - 1).
  4. Строим график функции y = (x + 1)/(x - 1), учитывая особые точки и асимптоты.

Проверь себя: определите горизонтальную асимптоту функции y = (2x² - 3x + 5)/(3x² + x - 2). Ответ: y = 2/3. Пояснение: горизонтальная асимптота находится как отношение коэффициентов при x² в числителе и знаменателе.

Универсальный алгоритм построения и чтения графиков дробно-рациональных функций

  1. Определите тип функции. Посмотрите на числитель и знаменатель — их степени и коэффициенты.
  2. Найдите вертикальные асимптоты. Для этого приравняйте знаменатель к нулю и решите уравнение.
  3. Найдите горизонтальные асимптоты. Если степени числителя и знаменателя равны, горизонтальная асимптота — отношение коэффициентов при старших степенях. Если степень числителя меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота — y = 0. Если степень числителя больше степени знаменателя, горизонтальной асимптоты нет (или она является наклонной).
  4. Найдите точки пересечения с осями координат. Подставьте x = 0 (для пересечения с осью y) и y = 0 (для пересечения с осью x).
  5. Определите поведение функции вблизи асимптот. Изучите знаки функции слева и справа от вертикальной асимптоты, чтобы понять, как график приближается к асимптоте.
  6. Постройте график. Используйте найденные точки и асимптоты как ориентиры для построения графика.
  7. Прочитайте график. Определите свойства функции: область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума (если они есть), интервалы знакопостоянства.

Разбор конкретных примеров задания 9

Пример 1: прочитайте график функции и определите её уравнение. График представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой x = 2 и горизонтальной асимптотой y = 3. График проходит через точку (0; 1).

  1. Форма уравнения: y = k/(x - 2) + 3.
  2. Подставляем точку (0; 1): 1 = k/(0 - 2) + 3, 1 = -k/2 + 3, -k/2 = -2, k = 4.
  3. Уравнение функции: y = 4/(x - 2) + 3.

Пример 2: постройте график функции y = (x - 1)/(x + 2).

  1. Вертикальная асимптота: x + 2 = 0, то есть x = -2.
  2. Горизонтальная асимптота: отношение коэффициентов при x: y = 1/1 = 1.
  3. Точки пересечения с осями:
  • При x = 0: y = (0 - 1)/(0 + 2) = -1/2. Точка (0; -1/2).
  • При y = 0: x - 1 = 0, x = 1. Точка (1; 0).
  1. Строим график, учитывая асимптоты и точки.

Пример 3: прочитайте график и определите область значений функции. График показывает, что функция стремится к y = 4, но никогда не достигает этого значения, а также имеет вертикальную асимптоту x = -3. При этом функция принимает все значения, кроме y = 4, и все значения x, кроме x = -3.

  1. Горизонтальная асимптота: y = 4.
  2. Вертикальная асимптота: x = -3.
  3. Область значений: все действительные числа, кроме y = 4, то есть (-∞; 4) ∪ (4; +∞).

Типичные ошибки

  • ❌ Неправильное определение горизонтальной асимптоты. Часто ученики забывают, что если степень числителя меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота равна нулю. Например, для функции y = 1/(x² + 1) горизонтальная асимптота y = 0, а не какое-либо другое число.
  • ❌ Пропуск вертикальных асимптот. Некоторые забывают приравнять знаменатель к нулю и найти его корни. Это приводит к тому, что график строится без учёта границ поведения функции.
  • ❌ Ошибки в определении точек пересечения с осями. Подставляя x = 0 или y = 0, ученики могут допустить арифметические ошибки или неправильно решить уравнение, что приведёт к неверным точкам на графике.
  • ❌ Игнорирование поведения функции вблизи асимптот. Важно понимать, как функция приближается к асимптоте — слева или справа она принимает положительные или отрицательные значения. Это влияет на общий вид графика.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →

Завершая, отметим: построение и чтение графиков дробно-рациональных функций — это не просто часть экзамена, но и мощный инструмент для анализа различных процессов в науке и технике. Чем больше вы практикуетесь, тем легче вам будет видеть закономерности и предсказывать поведение функций. Начните с простых случаев, постепенно усложняя задачи — и к экзамену вы будете готовы решать самые сложные варианты задания 9!