Представьте: вы сталкиваетесь с задачей, где нужно найти все значения параметра, при которых система имеет ровно два решения. Вы видите формулу с переменными, которые ведут себя непредсказуемо — и внутри закрадывается тревога. Знакомо? Именно такие задачи скрыты за номером 18 на ЕГЭ по математике. Но не пугайтесь! Графические приёмы — ваш ключ к успеху. В этой статье мы разберём, как с помощью окружностей, «галочки» и прямых решать задачи с параметрами. Готовы разобраться и уверенно подойти к экзамену 2026 года?

Что представляет собой задание №18 по математике ЕГЭ

Задание №18 по математике ЕГЭ — это задача с параметрами. Она проверяет не только знание математических правил и формул, но и умение мыслить логически, анализировать, выстраивать цепочки рассуждений. Такие задачи часто ставят в тупик из-за наличия переменной (параметра), значение которой нужно подобрать так, чтобы выполнялось определённое условие. Формат задания требует развёрнутого решения с обоснованием каждого шага. За полное и правильное решение можно получить до 4 баллов. Критерии оценивания подразумевают не только получение верного ответа, но и корректное описание хода рассуждений, умение интерпретировать графический или аналитический способ решения, а также верно указывать все необходимые значения параметра.

Разбор типов задач с графическими приёмами: окружность, «галочка», прямая

Окружность в задачах с параметрами

Окружность — один из мощных инструментов для визуализации условий в задачах с параметрами. Обычно она задаётся уравнением вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — центр окружности, $R$ — её радиус. В задачах с параметрами параметр может влиять на радиус, положение центра или комбинацию этих факторов. Представьте: вы решаете задачу о пересечении окружности с прямой или другой фигурой. Построив график, вы сразу видите, при каких значениях параметра фигуры пересекаются, касаются или не имеют общих точек.

Пример 1. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = a \end{cases} $$ имеет ровно два решения.

Рассмотрим первую строку — это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 2. Вторая строка — уравнение прямой, параллельной биссектрисе второго и четвёртого координатных углов. Пересечение прямой и окружности происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше или равно радиусу. Чтобы система имела ровно два решения, прямая должна пересекать окружность в двух точках. Это произойдёт, когда модуль параметра $a$ будет меньше $2\sqrt{2}$.

Алгоритм решения задачи с окружностью:

  1. Определите, как параметр влияет на геометрический объект (окружность, её центр, радиус).
  2. Постройте график уравнения, описывающего окружность.
  3. Постройте график второго уравнения системы или условия задачи.
  4. Проанализируйте взаимное расположение графиков: когда есть пересечения, касания, отсутствие общих точек.
  5. Составьте и решите неравенства или уравнения, отражающие нужные условия (пересечение в двух точках, касание и т. д.).
  6. Запишите ответ с учётом всех найденных значений параметра.

Проверь себя. При каких значениях параметра $b$ система уравнений $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = b \end{cases} $$ имеет ровно два решения?

Ответ: при $|b| < 3$. Пояснение: прямая $y = b$ пересекает окружность $x^2 + y^2 = 9$ в двух точках, если она проходит между её верхней и нижней точками, то есть при $|b| < 3$.

Нюанс. Иногда параметр влияет не на радиус, а на смещение центра окружности. В таких случаях важно следить за тем, как движение центра меняет взаимное расположение с другим объектом (прямой, параболой и т. д.).

«Галочка» в задачах с параметрами

«Галочка» — неформальное название графика модуля, который выглядит как галочка. Обычно он задаётся уравнением вида $y = |x - a| + b$ или другими комбинациями с модулем. Этот график имеет излом (точку, в которой функция меняет направление) в точке $x = a$, а параметр $b$ сдвигает его вверх или вниз. Задачи с «галочкой» часто требуют найти такие значения параметра, при которых график пересекает заданную прямую, ось $Ox$ или имеет заданное количество точек пересечения с другой фигурой.

Пример 2. Найдите все значения параметра $p$, при которых уравнение $|x - 1| = p$ имеет ровно одно решение.

Построим график функции $y = |x - 1|$. Это «галочка» с изломом в точке $x = 1$. Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$. Уравнение $|x - 1| = p$ имеет решение, только если $p \geq 0$. При $p = 0$ прямая касается вершины «галочки» в точке $x = 1$, и решение единственное. При $p > 0$ прямая пересекает график в двух точках (одно решение слева от $x = 1$, другое справа). Следовательно, условие задачи выполняется только при $p = 0$.

Алгоритм решения задачи с «галочкой»:

  1. Определите, как параметр влияет на график функции (сдвиг, растяжение/сжатие, излом).
  2. Постройте график функции с модулем.
  3. Проанализируйте взаимное расположение графика с прямой, осью $Ox$ или другим объектом.
  4. Найдите точки пересечения и установите, при каких значениях параметра число решений соответствует условию задачи (одно, два и т. д.).
  5. Запишите ответ, указав все значения параметра, удовлетворяющие условию.

Проверь себя. При каких значениях параметра $k$ уравнение $|x + 2| = k$ имеет ровно два решения?

Ответ: при $k > 0$. Пояснение: уравнение $|x + 2| = k$ имеет два решения, если $k > 0$, так как в этом случае прямая $y = k$ пересекает график функции $y = |x + 2|$ в двух точках. При $k = 0$ решение одно, при $k < 0$ решений нет.

Нюанс. Иногда в задачах «галочка» встроена в более сложное уравнение или система включает несколько функций с модулями. В таких случаях приходится строить несколько графиков, анализировать их пересечения и аккуратно учитывать все возможные случаи, особенно знаки подмодульных выражений.

Прямая в задачах с параметрами

Прямые — универсальный инструмент для графического решения задач с параметрами. Линейная функция $y = kx + b$ (или её аналоги) позволяет моделировать множество ситуаций: пересечение с другими фигурами, касание, расположение относительно системы координат. В задачах с параметрами параметр часто задаёт наклон прямой ($k$) или её сдвиг ($b$), а иногда и то и другое. Например, в задаче может требоваться найти, при каком $k$ прямая касается параболы, или при каком $b$ прямая проходит через заданную точку.

Пример 3. Найдите все значения параметра $c$, при которых прямая $y = cx + 2$ имеет ровно одну общую точку с параболой $y = x^2$.

Условие «ровно одна общая точка» означает касание прямой и параболы. Приравняем правые части: $cx + 2 = x^2$, или $x^2 - cx - 2 = 0$. Чтобы парабола и прямая касались, это квадратное уравнение должно иметь ровно один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю. $D = c^2 + 8$. Уравнение $c^2 + 8 = 0$ не имеет действительных решений, поскольку $c^2 \geq 0$, а значит, $c^2 + 8 > 0$ при всех $c$. Следовательно, таких значений $c$ не существует.

Алгоритм решения задачи с прямой:

  1. Запишите уравнение прямой с параметром.
  2. Запишите уравнение второй фигуры (парабола, окружность и т. д.).
  3. Приравняйте правые части уравнений, получив систему.
  4. Проанализируйте полученное уравнение (например, квадратное уравнение). Определите, при каких значениях параметра оно имеет нужное число корней (один, два, нет корней).
  5. Решите соответствующие уравнения или неравенства относительно параметра.
  6. Запишите ответ с учётом всех найденных значений параметра.

Проверь себя. При каких значениях параметра $m$ прямая $y = mx - 1$ имеет ровно одну общую точку с прямой $y = 3x + 2$?

Ответ: ни при каких. Пояснение: две прямые на плоскости могут иметь одну общую точку только в случае, если они пересекаются. Но они пересекаются при любом значении $m \neq 3$. При $m = 3$ прямые параллельны и не имеют общих точек. Следовательно, ровно одна общая точка невозможна.

Нюанс. В сложных задачах прямая может задаваться не в виде $y = kx + b$, а параметрически или через координаты двух точек. Важно уметь быстро переходить от одной формы к другой и видеть, как изменение параметра влияет на наклон и сдвиг.

Универсальный алгоритм решения задач №18 с графическими приёмами

Чтобы уверенно решать задачи №18 с использованием графических приёмов, следуйте пошаговому плану:

  1. Внимательно прочитайте условие задачи и выделите, что требуется найти (все значения параметра, при которых...; ровно два решения; система имеет решения и т. д.).
  2. Определите тип графиков: окружность, «галочка», прямая или комбинация этих объектов. Запишите уравнения, связывающие переменные и параметр.
  3. Постройте графики соответствующих уравнений на координатной плоскости. Не стремитесь к идеальной точности: главное — отобразить ключевые элементы: центр окружности, излом «галочки», наклон прямой.
  4. Проанализируйте взаимное расположение графиков: пересечение, касание, отсутствие общих точек. В зависимости от типа задачи (одна общая точка, две, отсутствие решений и т. д.) интерпретируйте, при каких значениях параметра происходят нужные конфигурации.
  5. Составьте уравнения или неравенства, описывающие необходимые условия (например, равенство дискриминанта нулю для касания, неравенство для пересечения и т. д.).
  6. Решите полученные уравнения или неравенства относительно параметра. Учитывайте область допустимых значений (например, радиус должен быть неотрицательным).
  7. Запишите ответ, включив все подходящие значения параметра и убедившись, что не пропущены граничные случаи (например, значение параметра, при котором фигуры касаются, а не пересекаются).
  8. Проверьте ответ: подставьте одно-два найденных значения параметра в исходные уравнения и убедитесь, что количество решений (или другое условие задачи) действительно выполняется.

Типичные ошибки

  • ❌ Неправильный учёт области определения. Например, в задачах с окружностью забывают, что радиус не может быть отрицательным, и получают нелогичные значения параметра.
  • ❌ Игнорирование граничных случаев. При анализе взаимного расположения графиков часто упускают моменты касания. Например, считают, что две общие точки возможны только при строгом неравенстве, забывая, что касание — это частный случай пересечения, и иногда именно он соответствует условию (например, «ровно одно решение»).
  • ❌ Неверный переход от графического к аналитическому описанию. Порой ученики видят, что прямая и окружность пересекаются, но при составлении уравнения для нахождения точек пересечения допускают ошибку в переносе членов. Например, неправильно записывают условие касания: вместо равенства дискриминанта нулю ставят неравенство.
  • ❌ Пренебрежение проверкой ответа. Получив значения параметра, ученик не подставляет их обратно в исходную систему и не убеждается, что число решений действительно соответствует условию. В результате могут быть потеряны баллы на экзамене.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →

И последний совет. Не бойтесь графики: они делают абстрактные параметры видимыми. Разбейте сложные задачи на простые: сначала проанализируйте один график, потом второй, а затем их взаимодействие. Так вы превратите пугающую задачу №18 в понятный алгоритм действий. Готовьтесь с EasyKnow — и вы увидите, как сложные параметры становятся понятными. Удачи на ЕГЭ 2026!