Представьте, что вы решаете уравнение и уверены, что всё верно, — но проверяющий говорит: «Не подходит». Почему? Часто проблема кроется в том, что вы не учли ограничения на основание логарифма. Логарифмические уравнения с основанием x — одна из таких тем, где малейшая ошибка с условиями может стоить баллов. В этом разборе мы разложим по полочкам, как не попасть в эту ловушку и грамотно решать задания ЕГЭ 2026.

Что представляет собой задание 6: логарифмические уравнения с основанием x

Задание проверяет умение работать с логарифмами, в том числе корректно учитывать ограничения на основание и аргумент логарифма. Форматы могут быть разными: от простых уравнений с одним логарифмом до более сложных конструкций с несколькими логарифмическими выражениями и параметрами.

Ключевые моменты, на которые нужно обратить внимание:

  • Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице (x > 0, x ≠ 1).
  • Аргумент логарифма должен быть положительным.
  • Необходимо проверить, удовлетворяет ли полученный корень этим условиям.

За верное решение обычно можно получить 1–2 балла, в зависимости от конкретной формулировки задания и степени детализации обоснования. Критерии оценивания включают правильность выполнения каждого этапа решения, корректность учёта ограничений и полноту обоснования.

Типы логарифмических уравнений с основанием x

Простые уравнения с одним логарифмом

Пример 1. Решим уравнение: $ \logx(x^2 - 3x + 2) = 1 $

Алгоритм решения:

  1. Учитываем ограничения на основание и аргумент: $x > 0$, $x ≠ 1$; $x^2 - 3x + 2 > 0$.
  2. Решаем неравенства для определения допустимых значений $x$:
  • $x^2 - 3x + 2 > 0$; раскладываем на множители: $(x - 1)(x - 2) > 0$; решением является объединение промежутков $x < 1$ и $x > 2$.
  • С учётом $x > 0$ и $x ≠ 1$ получаем допустимые промежутки: $(0; 1) ∪ (2; +∞)$.
  1. Переходим к уравнению без логарифмов, используя определение логарифма:

$ x^2 - 3x + 2 = x^1 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0. $

  1. Решаем квадратное уравнение:

$ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}. $

  1. Проверяем, попадают ли корни в допустимые промежутки:
  • $2 + \sqrt{2} > 2$ — подходит.
  • $2 - \sqrt{2} ≈ 0,586$ — попадает в $(0; 1)$ и подходит.

Проверь себя. Какое из значений $x$ НЕ является решением уравнения $\logx(x^2 - 3x + 2) = 1$?

  • $x = 2 + \sqrt{2}$
  • $x = 2 - \sqrt{2}$
  • $x = 1$

Ответ: $x = 1$, так как оно не удовлетворяет условию $x ≠ 1$.

Пример 2. Решим уравнение: $ \logx(2x - 1) = 2 $

Алгоритм решения:

  1. Условия: $x > 0$, $x ≠ 1$; $2x - 1 > 0 ⇒ x > \frac{1}{2}$. Итоговый промежуток допустимых значений: $(0; 1) ∪ (1; +∞)$ с учётом $x > \frac{1}{2}$: $(0,5; 1) ∪ (1; +∞)$.
  2. По определению логарифма: $2x - 1 = x^2$.
  3. Решаем квадратное уравнение: $x^2 - 2x + 1 = 0 ⇒ (x - 1)^2 = 0 ⇒ x = 1$.
  4. Проверяем ограничение: $x = 1$ не подходит, так как основание не может быть равным 1.

Вывод: решений нет.

Проверь себя. Почему в уравнении $\logx(2x - 1) = 2$ нет решений?

  • Потому что квадратное уравнение не имеет корней.
  • Потому что полученный корень не удовлетворяет условию $x ≠ 1$.
  • Потому что условие $2x - 1 > 0$ не выполнимо.

Ответ: «Потому что полученный корень не удовлетворяет условию $x ≠ 1$».

Уравнения с несколькими логарифмами и основанием x

Пример 3. Решим уравнение: $ \logx(x^2 + 4x + 3) - \logx(x + 1) = 1 $

Алгоритм решения:

  1. Условия: $x > 0$, $x ≠ 1$; $x^2 + 4x + 3 > 0$ и $x + 1 > 0$.
  2. Решаем неравенства:
  • $x^2 + 4x + 3 > 0$; корни: $x = -1$, $x = -3$; решение: $x < -3$ или $x > -1$.
  • $x + 1 > 0 ⇒ x > -1$.
  • С учётом $x > 0$ и $x ≠ 1$ получаем промежуток допустимых значений: $(0; 1) ∪ (1; +∞)$.
  1. Используем свойство логарифмов: $\logx(a) - \logx(b) = \logx\left(\frac{a}{b}\right)$:

$ \logx\left(\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1}\right) = 1. $

  1. Упрощаем выражение: $\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{x + 1} = x + 3$.
  2. Получаем: $\logx(x + 3) = 1$. По определению логарифма: $x + 3 = x^1 ⇒ x + 3 = x ⇒ 3 = 0$. Получили противоречие.
  3. Делаем вывод: решений нет.

Проверь себя. Сколько решений имеет уравнение $\logx(x^2 + 4x + 3) - \logx(x + 1) = 1$?

  • Одно.
  • Два.
  • Ни одного.

Ответ: «Ни одного», так как в результате преобразований получено противоречие.

Уравнения с параметром

Пример 4. Решим уравнение: $ \logx(x^2 + ax + a) = 2 $

Алгоритм решения:

  1. Условия: $x > 0$, $x ≠ 1$; $x^2 + ax + a > 0$.
  2. По определению логарифма: $x^2 + ax + a = x^2 ⇒ ax + a = 0 ⇒ a(x + 1) = 0$.
  3. Рассматриваем случаи:
  • Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $\logx(x^2) = 2$. Получаем: $x^2 = x^2$, верно для всех $x$ из допустимой области. Однако необходимо проверить, удовлетворяют ли значения условиям: $x > 0$, $x ≠ 1$. Таким образом, при $a = 0$ решений бесконечно много (все $x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞)$).
  • Если $a ≠ 0$, то $x + 1 = 0 ⇒ x = -1$. Но $x = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, решений нет.

Проверь себя. При каком значении параметра $a$ уравнение $\logx(x^2 + ax + a) = 2$ имеет бесконечно много решений?

  • $a = 0$
  • $a = 1$
  • $a = -1$

Ответ: $a = 0$. При этом значении уравнение превращается в тождество, верное для всех допустимых $x$.

Универсальный алгоритм решения логарифмических уравнений с основанием x

  1. Запишите условия, при которых логарифм имеет смысл: $x > 0$, $x ≠ 1$, а также аргумент логарифма должен быть положительным.
  2. Решите неравенства для определения допустимых значений $x$: найдите промежутки, в которых выполняются все условия.
  3. Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов: приведите к виду без логарифмов или упростите выражение.
  4. Решите полученное уравнение: примените необходимые математические методы (решение линейных или квадратных уравнений, разложение на множители и т. д.).
  5. Проверьте корни на соответствие допустимым значениям: исключите корни, не удовлетворяющие условиям из п. 1.
  6. Запишите ответ: укажите только те корни, которые соответствуют всем условиям.

Типичные ошибки при решении логарифмических уравнений с основанием x

  • ❌ Игнорирование условия $x ≠ 1$: многие ученики забывают, что основание логарифма не может быть равно 1, и включают $x = 1$ в ответ.
  • ❌ Не учёт области допустимых значений аргумента: условие положительности аргумента логарифма часто упускается, что приводит к ошибкам.
  • ❌ Неправильная проверка корней: даже если уравнение решено верно, корни нужно обязательно проверить на соответствие условиям, чтобы исключить посторонние решения.
  • ❌ Спешка при преобразовании: упрощение выражений может привести к потере информации об ограничениях, поэтому важно не только получить ответ, но и убедиться, что все условия учтены.

Помните: даже если вы мастерски владеете свойствами логарифмов, пропуск одного условия может лишить вас баллов. Уделите время проверке каждого этапа решения, и успех будет гарантирован.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →