Представьте, что вы готовитесь к важному экзамену и сталкиваетесь с задачей, где нужно рассчитать вероятность определённого события при небольшом количестве попыток. Кажется, что подсчёт вручную займёт много времени, но на самом деле есть способ упростить задачу — и он называется теорема Бернулли. Именно её применение часто проверяют в задании 4 ЕГЭ по математике. Если вы научитесь быстро применять эту теорему, многие задачи на вероятность покажутся вам простыми.

С теорией вероятностей мы сталкиваемся каждый день: прогнозируем погоду, оцениваем шансы на успех в игре или даже при выборе маршрута. В математике для таких расчётов существуют строгие правила, и одно из них — теорема Бернулли, которая особенно полезна при малом количестве испытаний. В задании 4 ЕГЭ вам могут встретиться задачи, где нужно вычислить вероятность наступления определённого события в серии независимых испытаний — именно здесь на помощь приходит эта теорема.

Что представляет собой задание 4 на тему «Классическая вероятность: теорема Бернулли при малом числе испытаний»

Задание 4 проверяет ваше умение применять теоретические знания по теории вероятности на практике. Обычно это задачи, где задано небольшое количество испытаний (например, 2–5 бросков монеты или выстрелов), и требуется найти вероятность определённого количества успешных исходов.

Формат задания: вам предлагается текстовая задача, в которой нужно определить вероятность наступления некоторого события. Баллы за выполнение зависят от корректности и полноты решения: даже если ответ правильный, ошибки в рассуждениях могут привести к потере части баллов. Критерии оценивания строго регламентированы: учитывается правильность применения формулы, логичность шагов и точность вычислений.

Разбор типов задач по теме

Тип 1. Задачи с подбрасыванием монеты

Представьте, что вам нужно найти вероятность того, что при трёх подбрасываниях симметричной монеты орёл выпадет ровно два раза. Это классический пример задачи, где применима теорема Бернулли.

Пример:

Пусть $n = 3$ — количество испытаний, $k = 2$ — количество успешных исходов (выпадение орла), $p = 0{,}5$ — вероятность выпадения орла при одном испытании. Формула Бернулли выглядит так: $Pn(k) = Cn^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$, где $Cn^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.

Подставляем значения: $C3^2 = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$, $P3(2) = 3 \cdot (0{,}5)^2 \cdot (0{,}5)^{1} = 3 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}375$.

Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза из трёх, равна $0{,}375$.

Алгоритм решения:

  1. Определите $n$ (общее количество испытаний) и $k$ (количество успешных исходов).
  2. Найдите вероятность успеха $p$ в одном испытании.
  3. Вычислите $Cn^k$ по формуле комбинаторики.
  4. Подставьте значения в формулу Бернулли и вычислите итоговую вероятность.
  5. Проверьте расчёты.

Проверь себя: Найдите вероятность того, что при четырёх подбрасываниях монеты орёл выпадет ровно три раза.

Ответ: $P4(3) = C4^3 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^1 = 4 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.

Пояснение: $C4^3 = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$, итоговая вероятность $= 0{,}25$.

Тип 2. Задачи с выстрелами или попаданиями в цель

Другой распространённый тип задач — расчёт вероятности попадания в цель определённое количество раз. Например, стрелок делает три выстрела, вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}8$. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно два раза.

Пример:

Дано: $n = 3$, $k = 2$, $p = 0{,}8$. $C3^2 = 3$, $P3(2) = 3 \cdot (0{,}8)^2 \cdot (0{,}2)^1 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}384$.

Ответ: вероятность того, что стрелок попадёт ровно два раза, составляет $0{,}384$.

Алгоритм решения:

  1. Определите, сколько всего выстрелов будет сделано ($n$) и сколько раз стрелок должен попасть в цель ($k$).
  2. Найдите вероятность попадания при одном выстреле ($p$) и вероятность промаха ($1 - p$).
  3. Вычислите число сочетаний $Cn^k$.
  4. Подставьте все значения в формулу Бернулли и выполните расчёт.
  5. Проверьте результат на логичность: вероятность не должна превышать $1$ и быть отрицательной.

Проверь себя: Стрелок делает четыре выстрела, вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно три раза.

Ответ: $P4(3) = C4^3 \cdot (0{,}7)^3 \cdot (0{,}3)^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$.

Пояснение: $C4^3 = 4$, $(0{,}7)^3 = 0{,}343$, $(0{,}3)^1 = 0{,}3$, итоговая вероятность $= 0{,}4116$.

Тип 3. Задачи с выбором билетов или вопросов

Иногда в задачах говорится о выборе билетов или вопросов, где нужно рассчитать вероятность получения определённого количества «удачных» вариантов. Например, на экзамене 20 билетов, в 15 из них есть вопрос по определённой теме. Студент берёт три билета. Какова вероятность, что в двух из них будет нужный вопрос?

Пример:

Здесь вероятность успеха в одном испытании — $p = \frac{15}{20} = 0{,}75$. Тогда: $n = 3$, $k = 2$, $C3^2 = 3$, $P3(2) = 3 \cdot (0{,}75)^2 \cdot (0{,}25)^1 = 3 \cdot 0{,}5625 \cdot 0{,}25 = 0{,}421875$.

Ответ: вероятность того, что в двух из трёх билетов будет нужный вопрос, составляет примерно $0{,}422$.

Алгоритм решения:

  1. Определите общее количество испытаний ($n$) и количество успешных исходов ($k$).
  2. Найдите вероятность успеха в одном испытании ($p$).
  3. Вычислите $Cn^k$.
  4. Подставьте значения в формулу Бернулли.
  5. Проверьте вычисления и логичность результата.

Проверь себя: Студент выбирает четыре билета из 20, в 14 из которых есть нужный вопрос. Найдите вероятность, что в трёх билетах будет нужный вопрос.

Ответ: $P4(3) = C4^3 \cdot (0{,}7)^3 \cdot (0{,}3)^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$.

Пояснение: $p = \frac{14}{20} = 0{,}7$, $C4^3 = 4$, $(0{,}7)^3 = 0{,}343$, $(0{,}3)^1 = 0{,}3$, итоговая вероятность $= 0{,}4116$.

Универсальный алгоритм решения задач на теорему Бернулли

  1. Внимательно прочитайте условие задачи и выделите данные: количество испытаний ($n$), количество успешных исходов ($k$), вероятность успеха в одном испытании ($p$).
  2. Вычислите число сочетаний $Cn^k$ по формуле $Cn^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.
  3. Найдите вероятность неудачи в одном испытании: $q = 1 - p$.
  4. Подставьте значения в формулу Бернулли: $Pn(k) = Cn^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}$.
  5. Выполните вычисления и проверьте результат: вероятность должна быть в пределах от $0$ до $1$.
  6. Запишите ответ в требуемом виде (дробь, десятичное число, процент).

Помните: даже небольшие ошибки в вычислении сочетаний или степени числа могут привести к неверному ответу. Всегда проверяйте промежуточные шаги.

Типичные ошибки

  • ❌ Неправильное определение $n$ и $k$. Ученик может перепутать, какое число обозначает общее количество испытаний, а какое — количество успешных исходов. Всегда перечитывайте условие и чётко определяйте эти параметры.
  • ❌ Ошибки в вычислении сочетаний. Формула $Cn^k$ требует аккуратности при работе с факториалами. Не торопитесь: даже маленькая ошибка здесь приведёт к неверному результату.
  • ❌ Игнорирование условия независимости испытаний. Теорема Бернулли применима только в случае, когда испытания независимы. Если в задаче есть зависимости между результатами, эта теорема не сработает.
  • ❌ Неправильные вычисления степеней и произведений. Даже если $Cn^k$ вычислен верно, ошибка в умножении или возведении в степень испортит всё решение. Используйте калькулятор, если нужно, но не пренебрегайте проверкой.

Заключение

Теорема Бернулли — это мощный инструмент для решения задач на вероятность при малом числе испытаний. Она помогает избежать громоздких вычислений и сделать решение логичным и понятным. Если вы будете следовать алгоритму и избегать типичных ошибок, задание 4 больше не будет для вас сложным.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →