Представьте: вы смотрите на график, а перед вами — «зашифрованные» математические законы. В задании №9 ЕГЭ вам предстоит разгадать этот шифр, найдя нужные значения по графикам функций с модулем и корнем. Многие ученики замирают перед такими заданиями, ошибочно считая их высшей математикой. На самом деле, всё решается по чётким правилам — и сейчас мы их разберём.

Графики функций с модулем и корнем часто встречаются в задании №9, и умение работать с ними критически важно: они проверяют не только знание свойств функций, но и способность анализировать графики, «считывать» информацию и применять алгебраические преобразования. Обычно задание оценивается в 1 балл и предполагает выбор ответа из предложенных вариантов или запись числового значения — точность здесь обязательна.

Что представляет собой задание №9 с графиками функций с модулем и корнем

Задание №9 проверяет умение анализировать графики различных функций, в том числе содержащих модуль и корни, а также использовать эти графики для нахождения значений функций в заданных точках, определения промежутков знакопостоянства, экстремумов или пересечения графиков. В случае функций с модулем акцент делается на симметрию и «ломаный» характер графика, а для функций с корнем — на область определения и монотонность. Форма задания обычно предполагает работу с визуализацией: даётся чертёж, по которому нужно найти значение функции в точке, координаты пересечения, параметр функции и т. п. Критерии оценивания сосредоточены на точности вычислений и корректности интерпретации графика, без необходимости сложных аналитических преобразований.

Разбираем типы функций: модуль и корень

Функции с модулем

Функции с модулем часто имеют «изломы» в точках, где выражение под модулем меняет знак. Например, график $y = |x|$ — это две прямые: $y = x$ при $x \geq 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие «галочку». При усложнении выражения — скажем, $y = |x - 2| + 1$ — график смещается вправо на 2 и вверх на 1. Важно научиться быстро определять, в какой области выражение под модулем положительно, а в какой — отрицательно, и строить график по частям.

Пример. Рассмотрим график функции $y = |x + 3| - 2$. Точка излома — в $x = -3$, так как именно при этом значении выражение под модулем обращается в ноль. При $x \geq -3$ имеем $y = x + 3 - 2 = x + 1$; при $x < -3$ — $y = -(x + 3) - 2 = -x - 5$. Это две прямые с разными наклонами, образующие «галочку», сдвинутую влево на 3 и вниз на 2. Допустим, по графику нужно найти значение функции в точке $x = 1$. Так как $1 > -3$, используем первую часть: $y = 1 + 1 = 2$.

Алгоритм решения для функции с модулем по графику:

  1. Определить точки излома (где выражение под модулем равно нулю).
  2. Разобраться, как функция записывается на каждом промежутке (убрать модуль с учётом знака выражения).
  3. Построить или проанализировать график по частям (если требуется).
  4. Найти нужное значение: подставить $x$ в соответствующую часть или «считать» с графика.

Проверь себя. Дана функция $y = |x - 4| - 3$. Чему равно значение в точке $x = 2$? Верный ответ: $y = |-2| - 3 = 2 - 3 = -1$. Пояснение: при $x = 2 < 4$, выражение под модулем отрицательно, поэтому $y = -(x - 4) - 3 = -x + 4 - 3 = -x + 1$; подставляя $x = 2$, получаем $y = -2 + 1 = -1$.

Функции с корнем

Функции вида $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x - a} + b$ имеют ограниченную область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. График $y = \sqrt{x}$ начинается в точке $(0; 0)$ и монотонно возрастает. Сдвиг графика: $y = \sqrt{x - a}$ сдвигает график на $a$ вправо, $y = \sqrt{x} + b$ — на $b$ вверх. Важно учитывать область определения: например, в функции $y = \sqrt{x - 3}$ значение $x$ должно быть не меньше 3.

Пример. Дана функция $y = \sqrt{x + 2} - 1$. Область определения: $x + 2 \geq 0$, т. е. $x \geq -2$. График начинается в точке $(-2; -1)$ и идёт вправо и вверх. Чтобы найти значение в точке $x = 2$, подставим: $y = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Если по графику нужно найти $x$, при котором $y = 3$, решаем уравнение: $\sqrt{x + 2} - 1 = 3$; $\sqrt{x + 2} = 4$; $x + 2 = 16$; $x = 14$.

Алгоритм решения для функции с корнем по графику:

  1. Найти область определения функции (подкоренное выражение $\geq 0$).
  2. Определить сдвиги графика относительно $y = \sqrt{x}$ (вправо/влево, вверх/вниз).
  3. Если нужно значение функции — подставить $x$ в уравнение и вычислить.
  4. Если нужно найти $x$ по значению $y$ — решить уравнение (с учётом ОДЗ).

Проверь себя. Дана функция $y = \sqrt{x - 1} + 2$. Чему равно значение в точке $x = 5$? Верный ответ: $y = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$. Пояснение: при $x = 5 > 1$, выражение под корнем положительно; $y = \sqrt{5 - 1} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Универсальный алгоритм нахождения значений по графику функции с модулем и корнем

  1. Определить тип функции (с модулем, корнем или их комбинацией) и ключевые особенности (точка излома, ОДЗ).
  2. Записать уравнение функции, раскрыв модуль или учитывая ОДЗ для корня. Если уравнение не задано явно, по графику восстановить его, выбрав контрольные точки (вершина, пересечение осей и т. п.) и сопоставив с видом $y = |x - a| + b$ или $y = \sqrt{x - a} + b$.
  3. Если требуется значение функции в точке $x$ — подставить это $x$ в уравнение и вычислить. Если требуется найти $x$ по значению $y$ — решить уравнение, следя за ОДЗ.
  4. Проверить результат: убедиться, что $x$ попадает в ОДЗ (для корня) и что выбор формулы для модуля соответствует промежутку. Для «считывания» с графика — сопоставить найденное значение с визуальной информацией, чтобы исключить грубые ошибки (например, неверную интерпретацию масштаба).

Пример применения. Дана функция $y = |x - 2| + \sqrt{x - 1}$. Нужно найти значение в точке $x = 3$. Область определения для корня: $x \geq 1$, поэтому $x = 3$ допустим. При $x = 3 > 2$, модуль раскрывается как $x - 2$. Получаем: $y = (3 - 2) + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2}$.

Проверь себя. Функция задана как $y = |x + 1| - \sqrt{x + 2}$. Найдите значение в точке $x = 0$. Верный ответ: $y = |1| - \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2}$. Пояснение: при $x = 0 > -1$, модуль раскрывается положительно; ОДЗ для корня: $x \geq -2$ — условие выполнено.

Типичные ошибки

  • ❌ Игнорирование ОДЗ для корня. Ученик подставляет $x$, при котором выражение под корнем отрицательно (например, для $y = \sqrt{x - 3}$ подставляет $x = 1$).
  • ❌ Неправильный выбор формулы для модуля. Не учитывается знак выражения под модулем, и модуль раскрывается неверно (например, для $x < a$ используется формула для $x \geq a$).
  • ❌ Неверная интерпретация графика. Путаница в сдвигах: например, график $y = \sqrt{x - 2}$ принимается за сдвиг на 2 влево вместо вправо.
  • ❌ Ошибки в вычислениях при решении уравнений. Например, при решении $\sqrt{x - 1} = 2$ забывают возвести в квадрат обе части или делают ошибки при возведении в степень.

Представьте: вы готовитесь к ЕГЭ не в одиночку, а вместе с опытным наставником, который не просто объясняет формулы, а учит видеть за графиками живые математические законы. Репетиторство EasyKnow поможет вам уверенно решать задания с модулями и корнями — шаг за шагом, без пробелов в понимании.

🎓 Репетиторство EasyKnow Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем EasyKnow — индивидуально и по твоему темпу. Записаться на пробный урок →

Запомни: графики с модулем и корнем не «страшные», они логичные и предсказуемые. Чем больше ты тренируешься читать их «как книгу», тем легче будет на экзамене. Доверься алгоритму, и победа будет за тобой!