Что проверяет задание
Задание 21 — текстовая задача повышенной сложности на 2 балла. Требуется составить уравнение или систему уравнений по условию и решить её. Темы: движение, работа, проценты, смеси и сплавы, прогрессии.
Время на решение: 10-15 минут. Ошибка в вычислениях или логике — 0 баллов.
Тип 1: Задачи на движение
Формулы
Расстояние = Скорость × Время
S = V × T
При движении по течению: V = Vсобственная + Vтечения
При движении против течения: V = Vсобственная − Vтечения
При встречном движении: скорости складываются
При догоне: скорости вычитаются (вычитается меньшая из большей)
Пример
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась обратно. На всё путешествие ушло 14 часов. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения 3 км/ч.
Решение
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за x км/ч.
Скорость против течения: (x − 3) км/ч
Скорость по течению: (x + 3) км/ч
Время против течения: 112/(x − 3) часов
Время по течению: 112/(x + 3) часов
Общее время 14 часов:
112/(x − 3) + 112/(x + 3) = 14
Приводим к общему знаменателю:
112(x + 3) + 112(x − 3) = 14(x − 3)(x + 3)
112x + 336 + 112x − 336 = 14(x² − 9)
224x = 14x² − 126
14x² − 224x − 126 = 0
Делим на 14:
x² − 16x − 9 = 0
Решаем по формуле дискриминанта:
D = 256 + 36 = 292
x = (16 ± √292)/2 = (16 ± 2√73)/2 = 8 ± √73
√73 ≈ 8,54
x₁ = 8 + 8,54 = 16,54
x₂ = 8 − 8,54 = −0,54 (не подходит, скорость положительна)
Ответ: 17 км/ч (округляем до целого, если требуется, или уточняем по условию)
Тип 2: Задачи на работу
Формулы
Работа = Производительность × Время
A = p × t
Производительность = 1/время выполнения всей работы
При совместной работе: производительности складываются
Пример
Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?
Решение
Производительность первой трубы: 1/6 бассейна в час
Производительность второй трубы: 1/4 бассейна в час
Совместная производительность: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 бассейна в час
Время заполнения: 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 часа
Ответ: 2,4 часа
Тип 3: Задачи на проценты
Формулы
Новое значение = Исходное × (1 + p/100) — при увеличении на p%
Новое значение = Исходное × (1 − p/100) — при уменьшении на p%
Сложный процент: конечное = начальное × (1 + p/100)^n
Пример
Цену товара сначала повысили на 20%, потом снизили на 20%. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?
Решение
Пусть начальная цена 100 рублей.
После повышения на 20%: 100 × 1,2 = 120 рублей
После снижения на 20%: 120 × 0,8 = 96 рублей
Изменение: 100 − 96 = 4 рубля
Процент изменения: 4/100 × 100% = 4%
Ответ: цена снизилась на 4%
Тип 4: Задачи на смеси и сплавы
Формулы
Масса вещества = Концентрация × Общая масса смеси
При смешивании: массы веществ складываются, общие массы складываются
Пример
Имеется 400 г сплава с содержанием золота 15%. Сколько граммов чистого золота нужно добавить, чтобы получить сплав с содержанием золота 40%?
Решение
Золота в исходном сплаве: 400 × 0,15 = 60 г
Пусть добавили x г золота.
Новая масса золота: 60 + x г
Новая общая масса: 400 + x г
Уравнение: (60 + x)/(400 + x) = 0,4
60 + x = 0,4(400 + x)
60 + x = 160 + 0,4x
x − 0,4x = 160 − 60
0,6x = 100
x = 100/0,6 = 1000/6 = 500/3 ≈ 166,67 г
Ответ: 500/3 г или примерно 167 г
Занятия с опытными репетиторами по математике на удобной онлайн платформе Easyknow!
Тип 5: Задачи на прогрессии
Формулы
Арифметическая прогрессия:
aₙ = a₁ + d(n−1)
Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2 = (2a₁ + d(n−1)) × n / 2
Геометрическая прогрессия:
bₙ = b₁ × q^(n−1)
Sₙ = b₁(q^n − 1)/(q − 1) при q ≠ 1
Пример
Члены арифметической прогрессии равны −7, −4, −1, ... Найдите сумму первых десяти членов.
Решение
a₁ = −7
d = −4 − (−7) = 3
S₁₀ = (2 × (−7) + 3 × 9) × 10 / 2
S₁₀ = (−14 + 27) × 5
S₁₀ = 13 × 5 = 65
Ответ: 65
Алгоритм решения любой задачи 21
1. Прочитайте условие дважды, выделите неизвестное
2. Обозначьте неизвестное за x (или x и y, если два неизвестных)
3. Выразите остальные величины через x
4. Составьте уравнение по ключевой фразе условия
5. Решите уравнение
6. Проверьте ответ на соответствие смыслу (положительность, целочисленность)
7. Запишите ответ в бланк
Частые ошибки
Ошибка 1: Неправильное обозначение неизвестного
Нужно найти скорость лодки, а обозначили скорость по течению. Читайте вопрос внимательно.
Ошибка 2: Перепутали сложение и вычитание скоростей
При движении против течения вычитаем течение из собственной скорости, не наоборот.
Ошибка 3: Неправильно составили уравнение
Проверяйте размерности: время = расстояние/скорость, а не наоборот.
Ошибка 4: Вычислительные ошибки
Решайте внимательно, проверяйте дискриминант и корни.
Ошибка 5: Не отбросили посторонний корень
После решения квадратного уравнения проверяйте оба корня на соответствие условию.
Памятка по формулам
Итог
Задание 21 решается по шаблону: обозначить неизвестное, составить уравнение, решить. Ключ к успеху — тренировка на всех типах задач и внимательность при вычислениях. Не торопитесь, проверяйте каждый шаг.
