Прямоугольные треугольники в ЕГЭ по профильной математике
Прямоугольный треугольник — одна из самых частых и самых «лёгких» тем в первой части профильного ЕГЭ, если понимать логику, а не заучивать формулы. Такие задачи встречаются в задании №1, реже — как часть более сложных геометрических задач.
Разберём:
какие элементы есть у прямоугольного треугольника;
какие формулы используются;
почему именно они работают;
как решать типовые задания шаг за шагом.
Что такое прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°.
Его элементы:
гипотенуза — сторона напротив прямого угла (самая длинная);
катеты — две стороны, которые образуют прямой угол;
острые углы — два других угла, сумма которых всегда 90°.
Важно:
👉 Если угол 90°, то напротив него всегда гипотенуза.
Теорема Пифагора — основа всех задач
Формула:
a² + b² = c²
где
a и b — катеты
c — гипотенуза
Почему так считается
Прямоугольный треугольник можно вписать в квадрат так, что площади маленьких квадратов на катетах в сумме равны площади большого квадрата на гипотенузе. Поэтому складываются квадраты, а не сами стороны.
Тип 1. Найти гипотенузу (задание №1)
Условие:
Катеты равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.
Решение:
Записываем теорему Пифагора: 6² + 8² = c²
Считаем квадраты: 36 + 64 = 100
Извлекаем корень: c = 10
Ответ:
10
Почему нельзя сложить просто 6 + 8
Потому что расстояние «по диагонали» всегда короче, чем путь по двум сторонам.
Тип 2. Найти катет
Условие:
Гипотенуза равна 13, один катет равен 5. Найдите второй катет.
Решение:
Записываем формулу: 5² + x² = 13²
Подставляем: 25 + x² = 169
Переносим: x² = 144
Корень: x = 12
Ответ:
12
Тип 3. Площадь прямоугольного треугольника
Формула площади:
S = (a · b) / 2
Почему делим на 2
Прямоугольный треугольник — это половина прямоугольника, построенного на катетах.
Диагональ квадрата со стороной a всегда равна a√2.
2️⃣ Треугольник 30°–60°–90°
Соотношение сторон:
напротив 30° → a
напротив 60° → a√3
гипотенуза → 2a
Почему
Этот треугольник получается при разрезании равностороннего треугольника.
Тип 6. Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка.
Формула:
h² = p · q
где p и q — части гипотенузы.
Почему
Образуются подобные треугольники, и между сторонами появляется пропорция.
Типичные ошибки учеников
❌ Путают катет и гипотенузу
❌ Складывают стороны вместо квадратов
❌ Делят не на 2 при поиске площади
❌ Забывают, что в задании №1 нужен числовой ответ
Как гарантированно решить задание №1 на треугольники
Найди прямой угол
Определи гипотенузу
Выпиши формулу
Подставь числа
Проверь: ответ реалистичный?
Краткая шпаргалка
a² + b² = c²
S = ab / 2
Острые углы = 90°
45°–45°–90° → √2
30°–60°–90° → 1 : √3 : 2
🎓 Репетиторство easyknow
Хочешь разобраться в теме быстро и без скучных объяснений? Занимайся с преподавателем easyknow — индивидуально, просто и по твоему темпу. Записаться на пробный урок
💬 Кураторство easyknow
Нужна поддержка в учебе, но не хочешь сразу на урок? Подключи куратора easyknow — он поможет с задачами и объяснит непонятное прямо в мессенджере. Получить помощь куратора