Задание 21 — текстовая задача повышенной сложности на 2 балла. Требуется составить уравнение или систему уравнений по условию и решить её. Темы: движение, работа, проценты, смеси и сплавы, прогрессии.
Время на решение: 10-15 минут. Ошибка в вычислениях или логике — 0 баллов.
Тип 1: Задачи на движение
Формулы
Расстояние = Скорость × Время
S = V × T
При движении по течению: V = Vсобственная + Vтечения
При движении против течения: V = Vсобственная − Vтечения
При встречном движении: скорости складываются
При догоне: скорости вычитаются (вычитается меньшая из большей)
Пример
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась обратно. На всё путешествие ушло 14 часов. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения 3 км/ч.
Решение
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за x км/ч.
Скорость против течения: (x − 3) км/ч
Скорость по течению: (x + 3) км/ч
Время против течения: 112/(x − 3) часов
Время по течению: 112/(x + 3) часов
Общее время 14 часов:
112/(x − 3) + 112/(x + 3) = 14
Приводим к общему знаменателю:
112(x + 3) + 112(x − 3) = 14(x − 3)(x + 3)
112x + 336 + 112x − 336 = 14(x² − 9)
224x = 14x² − 126
14x² − 224x − 126 = 0
Делим на 14:
x² − 16x − 9 = 0
Решаем по формуле дискриминанта:
D = 256 + 36 = 292
x = (16 ± √292)/2 = (16 ± 2√73)/2 = 8 ± √73
√73 ≈ 8,54
x₁ = 8 + 8,54 = 16,54
x₂ = 8 − 8,54 = −0,54 (не подходит, скорость положительна)
Ответ: 17 км/ч (округляем до целого, если требуется, или уточняем по условию)
Тип 2: Задачи на работу
Формулы
Работа = Производительность × Время
A = p × t
Производительность = 1/время выполнения всей работы
При совместной работе: производительности складываются
Пример
Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?
Решение
Производительность первой трубы: 1/6 бассейна в час
Производительность второй трубы: 1/4 бассейна в час
Совместная производительность: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 бассейна в час
Время заполнения: 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 часа
Ответ: 2,4 часа
Тип 3: Задачи на проценты
Формулы
Новое значение = Исходное × (1 + p/100) — при увеличении на p%
Новое значение = Исходное × (1 − p/100) — при уменьшении на p%
2. Обозначьте неизвестное за x (или x и y, если два неизвестных)
3. Выразите остальные величины через x
4. Составьте уравнение по ключевой фразе условия
5. Решите уравнение
6. Проверьте ответ на соответствие смыслу (положительность, целочисленность)
7. Запишите ответ в бланк
Частые ошибки
Ошибка 1: Неправильное обозначение неизвестного
Нужно найти скорость лодки, а обозначили скорость по течению. Читайте вопрос внимательно.
Ошибка 2: Перепутали сложение и вычитание скоростей
При движении против течения вычитаем течение из собственной скорости, не наоборот.
Ошибка 3: Неправильно составили уравнение
Проверяйте размерности: время = расстояние/скорость, а не наоборот.
Ошибка 4: Вычислительные ошибки
Решайте внимательно, проверяйте дискриминант и корни.
Ошибка 5: Не отбросили посторонний корень
После решения квадратного уравнения проверяйте оба корня на соответствие условию.
Памятка по формулам
Тип задачи
Ключевая формула
Движение
S = V × T
Работа
A = p × t, p = 1/t
Проценты
Новое = Старое × (1 ± p/100)
Смеси
Масса = Концентрация × Общая масса
Арифметическая прогрессия
Sₙ = (2a₁ + d(n−1)) × n / 2
Геометрическая прогрессия
Sₙ = b₁(q^n − 1)/(q − 1)
Итог
Задание 21 решается по шаблону: обозначить неизвестное, составить уравнение, решить. Ключ к успеху — тренировка на всех типах задач и внимательность при вычислениях. Не торопитесь, проверяйте каждый шаг.
Эта статья — лишь фрагмент знаний. На платформе Easyknow вся подготовка становится системой: от большой коллекции материалов по разным предметам до домашних заданий с проверкой. Всё в одном месте, по вашему личному плану.